Білет 1 . Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

Білет 1. Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

- сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число ; - добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число ; - щоб виконати ділення двох комплексних чисел, ділене і дільник множать на комплексне число, спряжене дільнику.

 

Білет 2. Поняття визначника ІІ і ІІІ порядку.Властивоста визначників.

Означення. Визначником (детермінантом) другого порядку для системи двох рівнянь із двома невідомими називають число і записується так: . Визначником третього порядку для системи трьох рівнянь з трьома невідомими записується так: і обчислюється за правилом трикутників: .

Властивості визначників.

1,Величина визначника не зміниться, якщо його рядки зробити стовпцями, а стовпці – рядками, не змінюючи нумерації їх.

2,Якщо помножити всі елементи деякого стовпця (або рядка) на те саме число k, то значення визначника також помножаться на те саме число k. 3,Якщо у визначнику поміняти місцями рядки або стовпці, то визначник змінить знак на протилежний.

4,Якщо елементи двох рядків або стовпців однакові, то визначник дорівнює нулю.5,Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка або стовпця додати елементи другого рядка або стовпця, помножені на те саме число.

 

 

Білет 3. Поняття диференціального рівняння та його розвязку.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять: незалежна змінна , шукана функція та її похідні або диференціали. Символічно диференціальні рівняння записують так: . Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо шукана функція залежить від одного незалежного змінного. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної або диференціала, що входить у дане рівняння. Розв’язком або інтегралом диференціального рівняння називається така функція, яка перетворює це рівняння в тотожність. Загальним розв’язком або загальним інтегралом диференціального рівняння називається такий розв’язок, до якого входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння. Так, загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку має одну довільну сталу. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, знайдений із загального при різних числових значеннях довільних сталих.

Значення довільних сталих знаходять при певних початкових значеннях аргументу і функції.

 

Білет 4. Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі.

Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі.

- добуток z₁ i z₂: -частку знаходять так: - при піднесенні до степеня: - для добування кореня використовують формулу:

 

Білет 5. Визначеним інтеграл.Формула Ньоютона-Лейбніца.

Визначеним інтегралом від функції на відрізку [ ; ] називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля: Для будь-якої функції , неперервної на відрізку [ ; ], завжди існує визначений інтеграл . Основні властивості визначеного інтеграла.

1. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від функцій, що додаються: .2. Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла: .3. При перестановці меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний .4. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю: .

5. Відрізок інтегрування можна розбивати на частини: .

Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл , є формула Ньютона-Лейбніца: ,тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межах інтегрування.

 

Білет 6. Дії над комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.

- добуток z₁ i z₂:

- частку знаходять так: - при піднесенні до степеня використовують формулу Муавра:

- для добування кореня використовують формулу:

 

Білет 19. Еліпс.

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала , більша за відстань між фокусами . (6) - Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, де - довжина великої півосі; довжина малої півосі. Залежність між параметрами виражається співвідношенням: (7).Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані до великої осі

 

Якщо фокуси еліпса лежать на осі Оу, то його рівняння має вигляд:

 

Білет 21. Гіпербола.

Гіперболою називають множину точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала (), менша за відстань між фокусами ().Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Ох, має вигляд: де - довжина дійсної півосі; довжина уявної півосі. Залежність між параметрами виражається співвідношенням: (11).Ексцентриситетом гіперболи називається відношення фокусної відстані до її дійсої осі Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких .

Якщо дійсна і уявна вісь гіперболи рівні (тобто ), то гіпербола називається рівносторонньою.

Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу, має вигляд: або (16),

а рівняння її асимптот: (17).Гіперболи (10) і (16) називаються спряженими. Рівняння рівносторонньої гіперболи на осі Оу має вигляд: .

 

 

 

Білет 23. Парабола.

Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яку називають фокусом, і від даної прямої, яку називають директрисою.Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох і вітки напрямлені вправо, має вигляд: ), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси .

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь О і вітки напрямлені вліво, має вигляд: (19), де -парамет параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси .Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оу і вітки напрямлені вгору, має вигляд: (20), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси . Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оу і вітки напрямлені вгору, має вигляд: (20), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. дРівняння її директриси .

Білет 29. Коло

Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром.

Рівняння кола з центром у початку координат і радіусом має вигляд: (1)

Рівняння кола з центром у точці і радіусом має вигляд: (2)

Рівняння кола в загальному вигляді записуютьтак: (3)

сталі коефіцієнти.

 

Білет 1. Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

- сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число ; - добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число ; - щоб виконати ділення двох комплексних чисел, ділене і дільник множать на комплексне число, спряжене дільнику.