Відстань від точки до прямої

 

 

Розглянемо точку і пряму .

 

 

 

Означення. Відстанню від точки до прямої , заданої рівнянням , називають довжину перпендикуляра , опущеного з точки на пряму .

 

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою:

.

 

Приклад 1.

 

Дано координати вершин трикутника : , , .

 

Знайти:

 

1. Довжину сторони ;

2. Рівняння сторін і в загальному вигляді та з кутовим коефіцієнтом.

3. Внутрішній кут ;

4. Рівняння медіани ;

5. Рівняння висоти та її довжину;

6. Систему лінійних нерівностей, які визначають трикутник .

 

Зробити рисунок.

Розв’язання.

 

Побудуємо трикутник

1. Визначимо довжину сторони АВ за формулою відстані між двома точками на площині:

.

 

, ,

 

отже,

 

(од.).

 

2. Одержимо рівняння сторін і .

 

Скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки:

 

.

 

, . Підставимо координати цих точок в рівняння прямої.

 

Одержимо

 

, звідки , або .

 

Скористуємось тепер основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів пропорції):

 

,

 

або – загальне рівняння прямої .

 

Для того, щоб одержати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом із загального рівняння виразимо через :

 

– рівняння з кутовим коефіцієнтом .

 

Аналогічно, для прямої маємо:

 

, , , або .

 

Отже, , – загальне рівняння прямої .

 

– рівняння з кутовим коефіцієнтом, .

 

3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно дорівнюють і , обчислюють за формулою:

 

.

 

,

.

 

4. Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

 

Оскільки – медіана, отже .

 

Визначимо координати точки : скористуємось для цього формулами ділення відрізка навпіл:

 

, ,

 

отже точка має координати .

 

Застосуємо тепер рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:

, ; .

 

; ;

 

;

 

– загальне рівняння медіани .

 

5. Висотою трикутника називають перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону.

 

Оскільки – висота трикутника, отже . Одержимо рівняння висоти Е, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дану точку в даному напрямі і умовою перпендикулярності прямих.

 

Оскільки , отже .

Підставимо тепер кутовий коефіцієнт та координати точки в рівняння:

.

 

Одержимо:

; ; – рівняння висоти .

 

Довжина висоти – це відстань від точки до прямої , тому скористуємось формулою відстані від точки до прямої:

.

 

Точка має координати ;

 

загальне рівняння прямої : , тоді:

 

(од.).

 

6. Множину точок можна розглядати як перетин трьох площин, з яких перша обмежена прямою і містить точку , друга обмежена прямою і містить точку , третя – обмежена прямою і містить точку .

 

Підставимо в рівняння прямої координати точки , маємо тоді:

,

 

а отже нерівність, яка визначає першу з півплощин буде: .

 

Загальне рівняння : .

 

Підставляємо в це рівняння координати точки :

 

.

 

Таким чином, друга півплощина визначається нерівністю .

 

Одержимо рівняння прямої :

 

,

 

; ; ;

 

– загальне рівняння прямої .

 

Підставимо в це рівняння координати точки :

 

.

 

Отже, нерівність, яка визначає третю півплощину, має вигляд:

 

,

 

а система одержаних нерівностей, яка визначає множину точок трикутника:

 

.

 

Питання для самоперевірки

 

 

1. За якою формулою визначається відстань між двома точками на площині?

 

2. За якими формулами обчислюються координати точки, що ділить заданий відрізок у заданому відношенні?

 

3. Що називається рівнянням лінії на площині ?

 

4. Який вид має рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

 

5. Який геометричний зміст параметрів і в рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом?

 

6. Запишіть загальне рівняння прямої. Як знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої?

 

7. Який вид має рівняння прямої у відрізках на осях? Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки?

 

8. Як знайти кут між двома прямими?

 

9. Сформулюйте умову паралельності прямих.

 

10. Яка умова перпендикулярності прямих?

 

11. Як знайти точку перетину двох прямих?

 

12. Як побудувати пряму, задану відповідним рівнянням?

 

13. Як знайти відстань від точки до прямої?

 

Задачі до розділу 1

 

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих і і паралельна осі .

 

2. Дана пряма . Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і перпендикулярна до заданої прямої.

 

3. Знайти кут між прямими і .

 

4. Знайти відстань від точки до прямої .

 

5. Записати рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

 

6. Скласти рівняння прямої, яка відтинає на осі ординат відрізок, величина якого дорівнює і утворює з віссю кут .

 

7. Знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , якщо , .

 

8. Знайти точку перетину прямих і .

 

9. Приведіть рівняння прямої до вигляду у відрізках на осях. Побудуйте пряму.

 

10. Знайти відстань від точки до прямої , якщо , , .

 

11. Скласти різні види рівняння прямої, що проходить через точку , паралельно прямій .

 

12. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку та відтинає на осях координат однакові відрізки.

 

13. Знайти відстань від середини відрізка, що сполучає точки і до прямої .

 

14. Визначити периметр трикутника з вершинами , , .

 

15. Визначити координати середин сторін трикутника з вершинами , , .

 

16. Записати рівняння прямої, яка проходить через початок системи координат і нахилена до осі під кутом ? ?

 

17. Серед прямих , , , визначити паралельні та перпендикулярні.

 

18. В точках перетину прямої з осями координат проведені перпендикуляри до цієї прямої. Записати їх рівняння.

 

19. Знайти вершини трикутника, сторони якого задані рівнянням , , .

 

20. Дана пряма . Які з точок , , , , , лежать на цій прямій?

 

В задачах 21 – 40 дано координати вершин трикутника .

 

Вимагається знайти:

 

1) периметр трикутника;

 

2) рівняння сторін і в загальному вигляді та їх кутові коефіцієнти;

 

3) внутрішній кут ;

 

4) рівняння медіани ;

 

5) рівняння висоти та її довжину;

 

6) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій ;

 

7) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник .

 

Зробити рисунок.

 

 

21. , , .

 

22. , , .

 

23. , , .

 

24. , , .

 

25. , , .

 

26. , , .

 

27. , , .

 

28. , , .

 

29. , , .

 

30. , , .

 

31. , , .

 

32. , , .

 

33. , , .

 

34. , , .

 

35. , , .

 

36. , , .

 

37. , , .

 

38. , , .

 

39. , , .

 

40. , , .

 

РОЗДІЛ 2.

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ