Лінійні операції над векторами

 

Додавання векторів.

 

Означення. Сумою n векторів, розміщених послідовно (початок наступного вектора співпадає з кінцем попереднього), називається вектор, який сполучає початок першого вектор-доданка з кінцем останнього вектор-доданка.

 

У випадку двох векторів їх суму можна визначити за правилом трикутника або за правилом паралелограма.

 

Означення. Сумою двох векторів, розташованих послідовно, називається вектор, який з’єднує початок першого з кінцем другого (правило трикутника).

 

Означення. Сумою двох векторів, які мають спільний початок, називають вектор, що співпадає з діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах (правило паралелограма).

Множення вектора на число.

 

Означення. Добутком вектора на скаляр називається вектор , модуль якого дорівнює добутку на , а напрям співпадає з напрямом , якщо , і протилежний напряму , якщо .

 

Означення. Одиничним вектором (ортом) вектора називається вектор , напрям якого співпадає з напрямом , а модуль дорівнює одиниці.

.

 

ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ

 

Означення. Проекцією точки на вісь називають основу перпендикуляра , опущеного з точки на вісь (рис. 3.).

 

Означення. Проекцією вектора на вісь називають модуль вектора , взятий зі знаком „ + ”, якщо вектор спів напрямлений з віссю , і зі знаком „ – ”, якщо вектор протилежно напрямлений з віссю (рис. 4.).

 

Означення. Кутом між вектором і віссю називають найменший кут , на який треба повернути вісь, щоб її напрям співпав з напрямом вектора .

 

Т е о р е м а. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором та віссю.

 

, .

 

 

РОЗКЛАД ВЕКТОРА ЗА КООРДИНАТНИМИ ОРТАМИ

 

Розглянемо у просторі прямокутну систему координат . Нехай – орт осі , – орт осі , – орт осі .

Нехай точка – деяка довільна точка простору. Вектор називають радіус-вектором точки .

 

Означення. Декартові прямокутні координати точки – це проекції її радіус-вектора на осі , і .

 

.

 

Позначимо проекції вектора на осі відповідно (абсциса), (ордината), (апліката), тоді

 

,

 

,

 

,

 

Одержимо .

 

Вектор можна записати так:

 

.

 

 

Модуль вектора дорівнює .

 

Позначимо кути, які вектор утворює з координатними осями так:

 

,

 

,

 

(рис. 7).

Маємо тепер , , .

 

Косинуси , , називають напрямленими косинусами радіус-вектора .

 

, , .

 

Напрямні косинуси задовольняють умову:

 

.

 

Зауважимо, якщо , ,

 

то

 

,

 

.

 

 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

 

Означення. Скалярним добутком векторів і називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

 

 

.

 

.

 

Скалярний добуток двох векторів має такі в л а с т и в о с т і:

 

1. Переставний закон: .

2. Розподільний закон: .

3. Сполучний закон: .

4. Якщо || , то .

5. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

.

6. Вектори перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже, якщо , то і навпаки.

 

7. Скалярні добутки ортів:

 

, , , , , .

 

 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ, ЗАДАНИХ КООРДИНАТАМИ

Нехай задано два вектори: і ; інакше , .

 

Обчислимо скалярний добуток .

 

 

,

 

оскільки

 

, , , , , .

 

Отже, маємо:

.

 

Наслідки.

 

1. .

 

2. .

 

.

3. Умова перпендикулярності векторів:

.

 

Умова перпендикулярності векторів:

.

Приклад 8.

 

Дано координати точок , , .

 

Вимагається:

1) записати вектори і в координатній формі та знайти модулі цих векторів;

2) знайти кут між векторами і ;

3) знайти проекції: , .

 

, , .

 

Розв’язання.

1) Якщо відомі координати точки і точки , то вектор буде мати координати ,

 

або

 

.

 

Маємо ,

 

.

 

Остаточно:

,

.

Модуль вектора обчислюємо за формулою

.

 

.

 

.

 

2) Скористуємося формулою

,

 

.

 

3) .

 

.

 

 

Питання для самоперевірки

 

13. Які вектори називаються колінеарними?

 

14. Які вектори називаються компланарними?

 

15. Що називається сумою векторів?

 

16. Як визначається операція множення вектора на число?

 

17. Що називається проекцією вектора на вісь?

 

18. Який розклад вектора за координатними ортами?

 

19. Дайте означення скалярного добутку двох векторів.

 

20. Сформулюйте основні властивості скалярного добутку.

 

21. Як обчислюється скалярний добуток двох векторів в координатній формі?

 

22. За якою формулою обчислюється кут між двома векторами?, проекція вектора на вектор?

 

23. Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності векторів.

Задачі до розділу 3

 

В задачах 101–120 дано координати точок , , .

 

Вимагається:

1) записати вектори і в координатній формі, знайти модулі цих векторів;

 

2) знайти кут між векторами і .

 

3) Знайти проекцію вектора на .

 

 

101. , , .

 

102. , , .

 

103. , , .

 

104. , , .

 

105. , , .

 

106. , , .

 

107. , , .

 

108. , , .

 

109. , , .

 

110. , , .

 

111. , , .

 

112. , , .

 

113. , , .

 

114. , , .

 

115. , , .

 

116. , , .

 

117. , , .

 

118. , , .

 

119. , , .

 

120. , , .

 

 

РОЗДІЛ 4.