Аналітична геометрія на площині та у просторі.

Дьяченко Н.К.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ.

Навчальний посібник

 

 

Дніпропетровськ

Дьяченко Н.К.

 

 

Аналітична геометрія на площині та у просторі. Елементи векторної алгебри:

Навчальний посібник/ Дніпропетровський державний аграрний університет – Дніпропетровськ, 2009 – 78 с.

 

У навчальному посібнику розглянуто основні поняття і положення аналітичної геометрії на площині та у просторі, а також елементи векторної алгебри.

Розібрано типові задачі, а також наведені завдання для самостійного розв’язування.

Посібник буде корисним для студентів заочної форми навчання економічних спеціальностей, а також для студентів очної форми навчання при підготовці до модульної роботи з аналітичної геометрії.

 

 

РОЗДІЛ 1.

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

 

 

ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ НА ПЛОЩИНІ

 

 

Нехай задано точки і . Визначимо відстань між ними.

 

 

З маємо:

 

.

 

 

Отже, відстань між двома точками на площині

 

 

Відстань точки від початку координат знаходимо за формулою .

 

ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ

 

Дано точки та .

 

Вимагається знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , тобто

 

.

 

Координати точки можна визначити за формулами:

 

.

 

Зауваження. Координати середини відрізка знаходимо за формулами

 

.

 

ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ

 

 

Нехай на площині задано декартову прямокутну систему координат і деяку лінію .

 

Означення. Рівняння називають рівнянням лінії (відносно заданої системи координат), якщо рівняння задовольняється координатами і будь-якої точки, яка лежить на лінії і не задовольняється координатами і жодної точки, що не лежить на лінії .

 

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

 

 

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Означення. Кутом нахилу прямої до осі називається кут між прямою та віссю , який відраховується проти годинникової стрілки від додатного напряму осі до прямої.

 

Означення. Кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута нахилу цієї прямої до осі , тобто .

 

 

 

 

 

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид:

 

(1)

 

Числовий параметр називають початковою ординатою. Параметр дорівнює ординаті точки перетину прямої з віссю .

 

Розглянемо деякі частинні випадки.

 

1) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

 

2) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння прямої, паралельної осі .

 

3) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння осі .

 

Загальне рівняння прямої.

Т е о р е м а. Кожне рівняння першого ступеня відносно х і у, тобто рівняння виду , визначає на площині пряму лінію.

 

Рівняння

 

(2)

 

називають загальним рівнянням прямої.

 

, , – числові параметри, причому .

 

Частинні випадки.

 

1) , . Рівняння (2) тоді матимемо вид – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

 

2) , . Пряма визначається рівнянням , або – пряма, яка паралельна осі .

 

3) , . В цьому випадку рівняння (2) буде мати вид , звідки – рівняння прямої, паралельної осі .

4) , , рівняння (2) має вигляд:

 

– рівняння осі .

 

5) , , рівняння (2) має вигляд:

 

– рівняння осі .

 

Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

Нехай задано точку , через яку проходить пряма і кутовий коефіцієнт цієї прямої, тоді рівняння

 

(3)

називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

 

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай задано точки і . Вимагається скласти рівняння прямої, що проходить через ці точки.

 

Використаємо рівняння (3). Підставимо в це рівняння координати точки .

Маємо , звідки – кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через дві задані точки.

 

 

Підставимо цей кутовий коефіцієнт в рівняння (3).

 

Дістанемо ,

 

звідки

(4)

 

рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

 

В рівнянні (4) припускаємо, що , , інакше, це рівняння не має змісту.

 

Якщо , то будемо мати – пряма, паралельна осі ординат.

 

Якщо , то маємо пряму – пряма паралельна осі абсцис.

 

Рівняння прямої у відрізках на осях.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вид:

 

(5)

 

 

Параметр в цьому рівнянні – абсциса точки перетину прямої з віссю , – ордината точки перетину прямої з віссю .

 

КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ.

ТОЧКА ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПРЯМИХ

 

 

Нехай задано дві прямі:

 

і .

 

Вимагається знайти координати точки перетину цих прямих.

 

Оскільки точка перетину прямих лежить як на першій, так і на другій прямій, то координати цієї точки повинні задовольняти кожне з рівнянь прямих.

Отже, для того, щоб знайти координати точки перетину прямих, треба розв’язати сумісно систему рівнянь цих прямих:

 

 

Зауваження.

1. Якщо , то прямі паралельні, точок перетину немає.

 

2. Якщо , то прямі зливаються, і таким чином точок перетину безліч.

 

 

Питання для самоперевірки

 

 

1. За якою формулою визначається відстань між двома точками на площині?

 

2. За якими формулами обчислюються координати точки, що ділить заданий відрізок у заданому відношенні?

 

3. Що називається рівнянням лінії на площині ?

 

4. Який вид має рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

 

5. Який геометричний зміст параметрів і в рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом?

 

6. Запишіть загальне рівняння прямої. Як знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої?

 

7. Який вид має рівняння прямої у відрізках на осях? Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки?

 

8. Як знайти кут між двома прямими?

 

9. Сформулюйте умову паралельності прямих.

 

10. Яка умова перпендикулярності прямих?

 

11. Як знайти точку перетину двох прямих?

 

12. Як побудувати пряму, задану відповідним рівнянням?

 

13. Як знайти відстань від точки до прямої?

 

Задачі до розділу 1

 

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих і і паралельна осі .

 

2. Дана пряма . Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і перпендикулярна до заданої прямої.

 

3. Знайти кут між прямими і .

 

4. Знайти відстань від точки до прямої .

 

5. Записати рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

 

6. Скласти рівняння прямої, яка відтинає на осі ординат відрізок, величина якого дорівнює і утворює з віссю кут .

 

7. Знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , якщо , .

 

8. Знайти точку перетину прямих і .

 

9. Приведіть рівняння прямої до вигляду у відрізках на осях. Побудуйте пряму.

 

10. Знайти відстань від точки до прямої , якщо , , .

 

11. Скласти різні види рівняння прямої, що проходить через точку , паралельно прямій .

 

12. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку та відтинає на осях координат однакові відрізки.

 

13. Знайти відстань від середини відрізка, що сполучає точки і до прямої .

 

14. Визначити периметр трикутника з вершинами , , .

 

15. Визначити координати середин сторін трикутника з вершинами , , .

 

16. Записати рівняння прямої, яка проходить через початок системи координат і нахилена до осі під кутом ? ?

 

17. Серед прямих , , , визначити паралельні та перпендикулярні.

 

18. В точках перетину прямої з осями координат проведені перпендикуляри до цієї прямої. Записати їх рівняння.

 

19. Знайти вершини трикутника, сторони якого задані рівнянням , , .

 

20. Дана пряма . Які з точок , , , , , лежать на цій прямій?

 

В задачах 21 – 40 дано координати вершин трикутника .

 

Вимагається знайти:

 

1) периметр трикутника;

 

2) рівняння сторін і в загальному вигляді та їх кутові коефіцієнти;

 

3) внутрішній кут ;

 

4) рівняння медіани ;

 

5) рівняння висоти та її довжину;

 

6) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій ;

 

7) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник .

 

Зробити рисунок.

 

 

21. , , .

 

22. , , .

 

23. , , .

 

24. , , .

 

25. , , .

 

26. , , .

 

27. , , .

 

28. , , .

 

29. , , .

 

30. , , .

 

31. , , .

 

32. , , .

 

33. , , .

 

34. , , .

 

35. , , .

 

36. , , .

 

37. , , .

 

38. , , .

 

39. , , .

 

40. , , .

 

РОЗДІЛ 2.

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

КОЛО

 

Означення. Коло – геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола.

 

Одержимо рівняння кола з центром в точці і радіуса .

 

Нехай точка – довільна точка кола.

 

 

Визначимо відстань між точками і за формулою відстані між двома точками на площині:

 

, звідси маємо

 

–

(1)

канонічне рівняння кола з центром в точці радіуса .

 

Коло радіуса , центр якого знаходиться в початку координат описується рівнянням:

 

.

(2)

 

Якщо в рівнянні (1) розкрити дужки, то одержимо рівняння кола у вигляді:

 

.

(3)

 

Як бачимо, для рівняння кола виконуються дві умови:

1) коефіцієнти при і рівні;

2) відсутній член з добутком координат х ∙ у.

Приклад 2.

Знайти центр і радіус кола .

Розв’язання.

 

Перетворимо ліву частину рівняння, виділимо для цього повні квадрати по змінним і .

 

,

 

.

 

– рівняння кола з центром в точці радіуса .

 

ЕЛІПС

 

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів), є величина стала, дорівнює 2а, більша, ніж відстань між фокусами.

 

Позначимо відстань між фокусами і .

Виберемо систему координат так, щоб фокуси мали координати і

 

 

Нехай точка – довільна точка еліпса. За визначенням еліпса маємо:

.

 

;

 

 

,

 

тоді

 

,

 

 

.

 

Ліву і праву частини останнього рівняння піднесемо до квадрату:

 

,

 

,

 

звідки

,

 

або

,

 

тоді

,

 

 

.

 

Згідно з умовою в означенні еліпса , отже .

 

Позначимо . Тоді рівняння перепишеться:

 

, або – канонічне рівняння еліпса.

 

Еліпс, заданий канонічним рівнянням, симетричний відносно осей координат:

 

– велика вісь еліпса,

– мала вісь еліпса,

– відстань між фокусами, ,

 

точка – центр еліпса.

 

Точки перетину еліпса з осями називаються вершинами еліпса.

 

Отже, еліпс має чотири вершини:

 

; ; ; .

 

Означення. Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

 

.

 

Оскільки , то .

 

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: якщо , то еліпс сплющується.

 

Означення. Директрисами еліпса називають дві прямі, перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщенні симетрично відносно центра еліпса на відстані від нього. Директриси еліпса мають рівняння .

 

Приклад 3. Побудувати, виписати основні числові характеристики:

.

 

Розв’язання. Дане рівняння є канонічним рівнянням еліпса.

 

, – велика піввісь; , – мала піввісь.

 

Побудуємо прямокутну декартову систему координат на площині. Вздовж осі вліво і вправо від початку системи координат відкладемо відстань , а вздовж осі вгору і вниз – відстань .

 

х

 

Вершини еліпса мають координати:

 

,

;

,

.

 

Визначимо параметр :

 

.

 

Фокуси лежать на осі на відстані від центра еліпса і мають координати , .

 

Ексцентриситет еліпса .

 

Директриси мають рівняння: .

, звідси .

Приклад 4.

 

Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку і має велику піввісь .

 

Розв’язання.

 

Канонічне рівняння еліпса має вид:

.

 

З урахуванням, що велика піввісь , рівняння перепишеться .

 

Оскільки точка належить еліпсу, то її координати повинні задовольняти останньому рівнянню. Отже, .

Визначимо звідси: .

 

Тепер запишемо шукане канонічне рівняння еліпса:

.

 

 

ГІПЕРБОЛА

 

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок на площині, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок – фокусів, є величина стала, дорівнює (менша, ніж відстань між фокусами).

 

Позначимо відстань між фокусами і через .

 

Нехай точка – довільна точка гіперболи, тоді .

 

 

 

,

 

і

 

.

 

Зробивши перетворення, аналогічні тим, що зроблено при виведенні рівняння еліпса маємо:

 

– канонічне рівняння гіперболи,

 

де ,

 

– дійсна вісь гіперболи,

– уявна вісь гіперболи,

– відстань між фокусами,

 

.

 

Гіпербола має дві вершини: , . Точка – центр гіперболи.

 

Означення. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі:

 

.

 

Означення. Асимптотою кривої називають таку пряму з властивістю, що точка, яка віддаляється по кривій у нескінченність, необмежено наближається до цієї прямої.

 

Гіпербола має дві асимптоти:

.

 

Означення. Директрисами гіперболи називаються дві прямі, перпендикулярні до фокусної (дійсної) осі гіперболи і знаходяться на відстані від центра гіперболи.

– рівняння директрис гіперболи.

 

Означення. Гіпербола, у якої називається р і в н о б і ч н о ю.

Приклад 5.

 

Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких від даної точки і від даної прямої дорівнює . Рівняння привести до канонічного виду та побудувати криву.

Розв’язання.

 

В прямокутній декартовій системі координат побудуємо точку та пряму .

у

Нехай точка – довільна точка шуканого геометричного місця точок. – перпендикуляр до прямої . Точка має координати .

За умовою задачі .

 

Відстані і визначимо за формулою відстані між двома точками на площині:

,

,

тепер маємо:

,

;

;

;

;

.

Ліву і праву частини рівняння розділимо почленно на 5:

.

Одержане рівняння – канонічне рівняння гіперболи. Дійсна піввісь , уявна піввісь .

 

Визначимо координати фокусів гіперболи: .

 

Отже, фокуси гіперболи: , .

Ексцентриситет одержаної гіперболи . Рівняння асимптот гіперболи мають вид: і .

Отже, і – асимптоти.

Директриса гіперболи: .