Відстань між двома точками на площині

 

 

Нехай задано точки і . Визначимо відстань між ними.

 

 

З маємо:

 

.

 

 

Отже, відстань між двома точками на площині

 

 

Відстань точки від початку координат знаходимо за формулою .

 

ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ

 

Дано точки та .

 

Вимагається знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , тобто

 

.

 

Координати точки можна визначити за формулами:

 

.

 

Зауваження. Координати середини відрізка знаходимо за формулами

 

.

 

ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ

 

 

Нехай на площині задано декартову прямокутну систему координат і деяку лінію .

 

Означення. Рівняння називають рівнянням лінії (відносно заданої системи координат), якщо рівняння задовольняється координатами і будь-якої точки, яка лежить на лінії і не задовольняється координатами і жодної точки, що не лежить на лінії .

 

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

 

 

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Означення. Кутом нахилу прямої до осі називається кут між прямою та віссю , який відраховується проти годинникової стрілки від додатного напряму осі до прямої.

 

Означення. Кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута нахилу цієї прямої до осі , тобто .

 

 

 

 

 

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид:

 

(1)

 

Числовий параметр називають початковою ординатою. Параметр дорівнює ординаті точки перетину прямої з віссю .

 

Розглянемо деякі частинні випадки.

 

1) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

 

2) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння прямої, паралельної осі .

 

3) Якщо , то рівняння (1) має вигляд – рівняння осі .

 

Загальне рівняння прямої.

Т е о р е м а. Кожне рівняння першого ступеня відносно х і у, тобто рівняння виду , визначає на площині пряму лінію.

 

Рівняння

 

(2)

 

називають загальним рівнянням прямої.

 

, , – числові параметри, причому .

 

Частинні випадки.

 

1) , . Рівняння (2) тоді матимемо вид – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

 

2) , . Пряма визначається рівнянням , або – пряма, яка паралельна осі .

 

3) , . В цьому випадку рівняння (2) буде мати вид , звідки – рівняння прямої, паралельної осі .

4) , , рівняння (2) має вигляд:

 

– рівняння осі .

 

5) , , рівняння (2) має вигляд:

 

– рівняння осі .

 

Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

Нехай задано точку , через яку проходить пряма і кутовий коефіцієнт цієї прямої, тоді рівняння

 

(3)

називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

 

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай задано точки і . Вимагається скласти рівняння прямої, що проходить через ці точки.

 

Використаємо рівняння (3). Підставимо в це рівняння координати точки .

Маємо , звідки – кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через дві задані точки.

 

 

Підставимо цей кутовий коефіцієнт в рівняння (3).

 

Дістанемо ,

 

звідки

(4)

 

рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

 

В рівнянні (4) припускаємо, що , , інакше, це рівняння не має змісту.

 

Якщо , то будемо мати – пряма, паралельна осі ординат.

 

Якщо , то маємо пряму – пряма паралельна осі абсцис.

 

Рівняння прямої у відрізках на осях.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вид:

 

(5)

 

 

Параметр в цьому рівнянні – абсциса точки перетину прямої з віссю , – ордината точки перетину прямої з віссю .

 

КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ.

УМОВА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ТА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ПРЯМИХ

 

 

Нехай задано дві прямі, що перетинаються: і . Вимагається знайти кут між цими прямими.

 

 

Під кутом між двома прямими розуміємо найменший кут , утворений цими прямими, який відраховуємо проти годинникової стрілки.

 

, звідки ,

 

тоді .

 

 

З урахуванням , остаточно маємо:

 

–

(6)

тангенс кута між двома прямими.

Якщо прямі паралельні, то , а отже .

 

Умова п а р а л е л ь н о с т і двох прямих.

Дві пряміпаралельні тоді і лише тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні:

 

.

 

Якщо дві прямі перпендикулярні, то формула (6) не має змісту. Але в цьому випадку можна розглянути котангенс кута між прямими

 

.

 

Для перпендикулярних прямих , отже , звідки .

 

Умова п е р п е н д и к у л я р н о с т і двох прямих.

 

Дві прямі на площині перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком: .

 

ТОЧКА ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПРЯМИХ

 

 

Нехай задано дві прямі:

 

і .

 

Вимагається знайти координати точки перетину цих прямих.

 

Оскільки точка перетину прямих лежить як на першій, так і на другій прямій, то координати цієї точки повинні задовольняти кожне з рівнянь прямих.

Отже, для того, щоб знайти координати точки перетину прямих, треба розв’язати сумісно систему рівнянь цих прямих:

 

 

Зауваження.

1. Якщо , то прямі паралельні, точок перетину немає.

 

2. Якщо , то прямі зливаються, і таким чином точок перетину безліч.