Поняття кривої другого порядку

 

 

Означення. Кривою другого порядку називають лінію, що визначається рівнянням другого степеня відносно декартових координат:

 

,

 

де , , , , , – дійсні числа і , , одночасно не дорівнюють нулю.

 

 

КОЛО

 

Означення. Коло – геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола.

 

Одержимо рівняння кола з центром в точці і радіуса .

 

Нехай точка – довільна точка кола.

 

 

Визначимо відстань між точками і за формулою відстані між двома точками на площині:

 

, звідси маємо

 

–

(1)

канонічне рівняння кола з центром в точці радіуса .

 

Коло радіуса , центр якого знаходиться в початку координат описується рівнянням:

 

.

(2)

 

Якщо в рівнянні (1) розкрити дужки, то одержимо рівняння кола у вигляді:

 

.

(3)

 

Як бачимо, для рівняння кола виконуються дві умови:

1) коефіцієнти при і рівні;

2) відсутній член з добутком координат х ∙ у.

Приклад 2.

Знайти центр і радіус кола .

Розв’язання.

 

Перетворимо ліву частину рівняння, виділимо для цього повні квадрати по змінним і .

 

,

 

.

 

– рівняння кола з центром в точці радіуса .

 

ЕЛІПС

 

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів), є величина стала, дорівнює 2а, більша, ніж відстань між фокусами.

 

Позначимо відстань між фокусами і .

Виберемо систему координат так, щоб фокуси мали координати і

 

 

Нехай точка – довільна точка еліпса. За визначенням еліпса маємо:

.

 

;

 

 

,

 

тоді

 

,

 

 

.

 

Ліву і праву частини останнього рівняння піднесемо до квадрату:

 

,

 

,

 

звідки

,

 

або

,

 

тоді

,

 

 

.

 

Згідно з умовою в означенні еліпса , отже .

 

Позначимо . Тоді рівняння перепишеться:

 

, або – канонічне рівняння еліпса.

 

Еліпс, заданий канонічним рівнянням, симетричний відносно осей координат:

 

– велика вісь еліпса,

– мала вісь еліпса,

– відстань між фокусами, ,

 

точка – центр еліпса.

 

Точки перетину еліпса з осями називаються вершинами еліпса.

 

Отже, еліпс має чотири вершини:

 

; ; ; .

 

Означення. Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

 

.

 

Оскільки , то .

 

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: якщо , то еліпс сплющується.

 

Означення. Директрисами еліпса називають дві прямі, перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщенні симетрично відносно центра еліпса на відстані від нього. Директриси еліпса мають рівняння .

 

Приклад 3. Побудувати, виписати основні числові характеристики:

.

 

Розв’язання. Дане рівняння є канонічним рівнянням еліпса.

 

, – велика піввісь; , – мала піввісь.

 

Побудуємо прямокутну декартову систему координат на площині. Вздовж осі вліво і вправо від початку системи координат відкладемо відстань , а вздовж осі вгору і вниз – відстань .

 

х

 

Вершини еліпса мають координати:

 

,

;

,

.

 

Визначимо параметр :

 

.

 

Фокуси лежать на осі на відстані від центра еліпса і мають координати , .

 

Ексцентриситет еліпса .

 

Директриси мають рівняння: .

, звідси .

Приклад 4.

 

Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку і має велику піввісь .

 

Розв’язання.

 

Канонічне рівняння еліпса має вид:

.

 

З урахуванням, що велика піввісь , рівняння перепишеться .

 

Оскільки точка належить еліпсу, то її координати повинні задовольняти останньому рівнянню. Отже, .

Визначимо звідси: .

 

Тепер запишемо шукане канонічне рівняння еліпса:

.

 

 

ГІПЕРБОЛА

 

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок на площині, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок – фокусів, є величина стала, дорівнює (менша, ніж відстань між фокусами).

 

Позначимо відстань між фокусами і через .

 

Нехай точка – довільна точка гіперболи, тоді .

 

 

 

,

 

і

 

.

 

Зробивши перетворення, аналогічні тим, що зроблено при виведенні рівняння еліпса маємо:

 

– канонічне рівняння гіперболи,

 

де ,

 

– дійсна вісь гіперболи,

– уявна вісь гіперболи,

– відстань між фокусами,

 

.

 

Гіпербола має дві вершини: , . Точка – центр гіперболи.

 

Означення. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі:

 

.

 

Означення. Асимптотою кривої називають таку пряму з властивістю, що точка, яка віддаляється по кривій у нескінченність, необмежено наближається до цієї прямої.

 

Гіпербола має дві асимптоти:

.

 

Означення. Директрисами гіперболи називаються дві прямі, перпендикулярні до фокусної (дійсної) осі гіперболи і знаходяться на відстані від центра гіперболи.

– рівняння директрис гіперболи.

 

Означення. Гіпербола, у якої називається р і в н о б і ч н о ю.

Приклад 5.

 

Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких від даної точки і від даної прямої дорівнює . Рівняння привести до канонічного виду та побудувати криву.

Розв’язання.

 

В прямокутній декартовій системі координат побудуємо точку та пряму .

у

Нехай точка – довільна точка шуканого геометричного місця точок. – перпендикуляр до прямої . Точка має координати .

За умовою задачі .

 

Відстані і визначимо за формулою відстані між двома точками на площині:

,

,

тепер маємо:

,

;

;

;

;

.

Ліву і праву частини рівняння розділимо почленно на 5:

.

Одержане рівняння – канонічне рівняння гіперболи. Дійсна піввісь , уявна піввісь .

 

Визначимо координати фокусів гіперболи: .

 

Отже, фокуси гіперболи: , .

Ексцентриситет одержаної гіперболи . Рівняння асимптот гіперболи мають вид: і .

Отже, і – асимптоти.

Директриса гіперболи: .

Для даного приклада: і – рівняння директрис.

 

Зробимо рисунок.

 

ПАРАБОЛА

 

Означення. Парабола – геометричне місце точок площини рівновіддалених від даної точки – фокуса і від даної прямої, яка називається директрисою.

 

Нехай точка – фокус параболи, а пряма – її директриса.

 

Декартову прямокутну систему координат вибираємо так, щоб вісь проходила через фокус перпендикулярно до прямої , а вісь поділяла б відрізок осі між фокусом і директрисою навпіл.

Позначимо відстань від заданої точки до заданої прямої (директриси) через .

Тоді координати фокуса , рівняння директриси . Нехай – поточна точка. За означенням параболи .

,

,

,
звідки

,

 

отже, – канонічне рівняння параболи, – параметр параболи (відстань від фокуса до директриси). Вершина параболи ділить відстань між фокусом і директрисою навпіл.

Рівняння , , – канонічні рівняння параболи.

 

Ексцентриситет параболи дорівнює одиниці: .

Приклад 6.

Дана парабола . Записати рівняння директриси і знайти координати фокуса.

 

Розв’язання.

Проаналізуємо задане рівняння. – канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі , вітки параболи напрямлені вгору. Точка – вершина параболи, , звідки .

 

Отже, рівняння директриси , а фокус має координати .