Аналітична геометрія у просторі

 

 

РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ЗАДАНУ ТОЧКУ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ДО ЗАДАНОГО ВЕКТОРА

 

 

Нехай площину у просторі задано деякою її точкою та ненульовим вектором , перпендикулярним цій площині.

 

Вектор називають нормальним вектором площини.

 

Візьмемо на площині довільну точку . Тоді вектор має координати .

 

При будь-якому положенні точки на площині , а отже, їх скалярний добуток буде дорівнювати 0:

 

,

 

або

–

 

рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно вектору .

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ. ДОСЛІДЖЕННЯ НЕПОВНОГО РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ

Якщо в останньому рівнянні відкрити дужки, то одержимо .

Позначимо – ,

будемо мати – загальне рівняння площини.

 

Як бачимо, це рівняння першого степеня відносно ; вектор – нормальний вектор площини.

 

Рівняння площини називають неповним, якщо в ньому відсутні деякі члени.

 

1. Якщо в рівнянні площини вільний член , то площина проходить через початок системи координат.

 

2. Якщо в рівнянні , то площина паралельна осі .

 

Аналогічно, – площина паралельна осі ,

– площина паралельна осі .

 

3. Якщо в рівнянні площини , то площина паралельна координатній площині .

 

Аналогічно, – площина паралельна осі ,

– площина паралельна осі .

 

4. Якщо в рівнянні площини , то площина проходить через вісь .

 

Аналогічно, – площина проходить через вісь ,

– площина проходить через вісь .

 

5. Якщо в рівнянні площини , то площина , або – площина .

 

Аналогічно, – площина ,

– площина .

 

КУТ МІЖ ДВОМА ПЛОЩИНАМИ. УМОВИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ТА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ПЛОЩИН

 

 

Нехай задано дві площини:

 

і

 

з нормальними векторами

 

,

 

.

 

Тоді кут між площинами – це кут між векторами і .

 

 

.

 

Звідси одержуємо:

 

Умова паралельності площин:

 

;

 

Умова перпендикулярності площин:

 

 

.

 

 

ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ

 

Відстанню від заданої точки до площини називають довжину перпендикуляра, опущеного із точки на площину .

 

Нехай точка має координати , а площина задана рівнянням , тоді відстань від точки до площини можна знайти за формулою:

 

.

 

 

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ У ПРОСТОРІ

 

Пряму у просторі в прямокутній декартовій системі координат можна задати точкою і вектором , паралельним цій прямій.

 

Вектор називають напрямним вектором прямої.

 

Пряма має безліч напрямних векторів. Всі вони паралельні між собою, а отже, їх координати пропорційні.

 

Нехай точка – поточна точка прямої . Вектор колінеарний вектору , отже їх координати пропорційні: – канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .

 

Якщо кожне з відношень прирівняємо до параметра , тобто , , і виразимо координати поточної точки через , то дістанемо рівняння:

, , – параметричні рівняння прямої.

 

Пряму у просторі можна задати як перетин двох площин, тобто системою двох лінійних рівнянь:

 

.

 

Для того, щоб дві площини визначили пряму, треба щоб вони не були паралельні, тобто вектори і не паралельні (це означає, що їх координати не пропорційні).

 

Якщо пряма проходить через дві задані точки і , то – канонічні рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

 

КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ

 

Кут між двома прямими і – це кут між їхніми напрямними векторами і .

 

Нехай , , тоді

 

.

Умова паралельності двох прямих у просторі: , отже їх координати пропорційні:

.

 

Умова перпендикулярності двох прямих у просторі: , отже

 

.

 

ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ З ПЛОЩИНОЮ

 

 

Нехай задано площину і пряму .

 

Вимагається знайти точку перетину прямої з площиною. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

 

.

 

Запишемо параметричні рівняння прямої: , , і підставимо їх в рівняння площини:

 

,

 

 

,

 

звідки

 

.

 

Можливі наступні випадки:

 

1. – тоді система має єдиний розв’язок (пряма і площина перетинаються в одній точці);

 

2. , – система розв’язків не має (пряма паралельна площині);

 

3. , – система має безліч розв’язків (пряма належить площині).

 

Приклад 9.

Знайти точку перетину прямої з площиною .

 

Розв’язання.

 

Для того, щоб знайти координати точки перетину прямої з площиною, розв’яжемо систему

 

.

 

Запишемо параметричні рівняння прямої. Для цього кожне з відношень прирівняємо до параметра :

 

; .

 

Параметричні рівняння прямої підставляємо тепер в рівняння площини:

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Тепер маємо:

 

, , – координати точки перетину прямої і площини.

 

 

РОЗДІЛ 5.

СФЕРА

 

 

Означення. Сфера – геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки – центра сфери.

 

Канонічне рівняння сфери має вид:

 

,

 

де – координати центра сфери,

– радіус.

 

Рівняння другого степеня відносно тоді і лише тоді буде рівняння сфери, коли:

 

1. це рівняння ІІ степеня відносно ;

 

2. коефіцієнти при квадратах рівні;

 

3. в рівнянні немає членів з добутками .

 

Приклад 10.

 

Дано рівняння .

 

Потрібно:

 

1) довести, що дане рівняння є рівнянням сфери;

2) знайти координати центра і радіус сфери;

3) скласти рівняння площини, що проходить через центр сфери і вісь ;

4) скласти рівняння прямої, що проходить через центр сфери і початок координат;

 

Розв’язання.

 

1) Дане рівняння є рівнянням сфери, оскільки це рівняння другого степеня відносно ; коефіцієнти при других степенях рівні і в рівнянні відсутні члени виду .

 

2) Визначимо координати центра і радіус сфери. Для цього виділимо повні квадрати по змінним .

 

 

– канонічне рівняння сфери з центром в точці радіуса .

 

3) Одержимо тепер рівняння площини, що проходить через точку і вісь .

 

Оскільки площина проходить через вісь , то і рівняння площини має вид .

З іншого боку, оскільки шукана площина проходить через центр сфери – точку , то координати цієї точки повинні задовольняти рівнянню площини.

 

,

 

.

 

Один із параметрів або можна вибрати довільно, але . Нехай , тоді .

 

– рівняння шуканої площини.

 

4) Для того, щоб одержати рівняння прямої, що проходить через центр сфери і початок координат скористуємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки:

.

 

Точка , , тоді

 

;

 

 

– рівняння прямої .

 

Питання для самоперевірки

 

1. Який вид має рівняння площини, що проходить:

 

а) через задану точку перпендикулярно до заданого вектора;

 

б) загальне рівняння площини?

 

2. Дослідження неповного рівняння площини.

 

3. Як знайти кут між двома площинами? Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності площин.

 

4. Як знайти відстань від заданої точки до заданої площини?

 

5. Які Ви знаєте види рівнянь прямої у просторі.

 

6. Яка умова паралельності прямих у просторі? Сформулюйте також умову перпендикулярності прямих у просторі.

 

7. Як знайти координати точки перетину площини і прямої?

 

8. Як знайти відстань від заданої точки до заданої площини?

 

9. За яких умов загальне рівняння другого степеня визначає сферу? Як знайти її центр та радіус?

Задачі до розділів 4, 5

 

В задачах 1–20 дано рівняння .

 

Потрібно:

 

1) довести, що рівняння є рівнянням сфери;

 

2) знайти координати центра і радіус сфери;

 

3) скласти рівняння площини, що проходить через центр сфери і задану вісь;

 

4) скласти рівняння прямої, що проходить через центр сфери і задану точку .

 

 

121. , вісь , .

 

122. , вісь , .

 

123. , вісь , .

 

124. , вісь , .

 

125. , вісь , .

 

126. , вісь , .

 

127. , вісь , .

 

128. , вісь , .

 

129. , вісь , .

 

130. , вісь , .

 

131. , вісь , .

 

132. , вісь , .

 

133. , вісь , .

 

134. , вісь , .

 

135. , вісь , .

 

136. , вісь , .

 

137. , вісь , .

 

138. , вісь , .

 

139. , вісь , .

 

140. , вісь , .

 

 

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

 

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1986.

 

2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1972.

 

3. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Київ: „Либідь”, 1994, книга 1.

 

4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1974, часть 1.

 

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

 

6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. Київ: Вища школа, 1993.

 

7. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Минск: Высшая школа, 1969.

ЗМІСТ

 

РОЗДІЛ 1. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
1.1. Відстань між двома точками на площині…………………………..
1.2. Ділення відрізка в заданому відношенні…………………………...
1.3. Поняття рівняння лінії на площині…………………………………
1.4. Рівняння прямої на площині………………………………………..
1.5. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих…………….
1.6. Точка перетину двох прямих……………………………………….
1.7. Відстань від точки до прямої……………………………………….
Питання для самоперевірки…………………………………………
Задачі до розділу 1…………………………………………………..
Розділ 2. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
2.1. Поняття кривої другого порядку…………………………………...
2.2. Коло…………………………..………………………………………
2.3. Еліпс…………………………..……………………………………...
2.4. Гіпербола…………………………..…………………………………
2.5. Парабола…………………………..………………………………….
2.6. Перетворення декартових координат………………………………
2.7. Побудова кривих другого порядку за їх рівнянням……………….
2.8. Графік квадратного тричлена……………………………………….
2.9. Графік обернено пропорційної залежності………………………...
Питання для самоперевірки…………………………………………
Задачі до розділу 2…………………………………………………..
Розділ 3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
3.1. Основні поняття……………………………………………………...
3.2. Лінійні операції над векторами……………………………………..
3.3. Проекція вектора на вісь…………………………………………….
3.4. Розклад вектора за координатними ортами………………………..
3.5. Скалярний добуток векторів та його властивості…………………
3.6. Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами……….
Питання для самоперевірки…………………………………………
Задачі до розділу 3…………………………………………………...
Розділ 4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
4.1. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора……………...
4.2. Загальне рівняння площини. Дослідження неповного рівняння площини……………………….
4.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності площин……………
4.4. Відстань від точки до площини…………………………………….
4.5. Рівняння прямої у просторі…………………………………………
4.6. Кут між двома прямими……………………………………………..
4.7. Перетин прямої з площиною………………………………………..
РОЗДІЛ 5. СФЕРА……………………………………………
Питання для самоперевірки…………………………………………
Задачі до розділів 4, 5………………………………………………..
Бібліографічний список…………………………………………………..
Зміст……………………………………………………………………….