Перетворення декартових координат

 

 

Паралельне перенесення системи координат

 

Систему координат перенесемо паралельно собі так, щоб початок координат співпадав з точкою .

 

 

 

Дістанемо систему координат . Координати довільної точки в системі – , а в системі – .

 

– формули, які пов’язують координати точки в системах і .

 

Поворот системи координат на кут φ

Нехай задана прямокутна декартова система координат . Виконаємо поворот осей координат на кут (початок системи координат не змінюється; кут відраховуємо проти годинникової стрілки), при цьому одержимо нову систему координат .

 

 

Тоді залежність між старими координатами і новими визначається наступними формулами:

 

.

 

ПОБУДОВА КРИВИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗА ЇХ РІВНЯННЯМ

 

Вид рівняння кривої залежить від вибору системи координат. В різних системах координат для однієї й тієї ж кривої ми будемо одержувати рівняння різної складності. Отже, виникає наступна задача. Дано рівняння кривої другого порядку в деякій декартовій системі координат , яке не є простішим. Потрібно за допомогою перетворень координат одержати простіше рівняння кривої.

 

Розглянемо рівняння другого степеня виду (це рівняння не містить члена з добутком координат).

 

Таке рівняння визначає на площині еліпс, гіперболу або параболу (можливі випадки виродження цих кривих). Для того, щоб привести це рівняння до канонічного виду треба виділити повні квадрати по змінним х і у і виконати паралельне перенесення системи координат.

 

При цьому, якщо:

 

1) , маємо рівняння еліпса ( – рівняння кола);

 

2) , маємо рівняння гіперболи;

 

3) , маємо рівняння параболи.

 

ГРАФІК КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА

 

 

Нехай задано рівняння виду , права частина якого – квадратний тричлен.

 

Графіком квадратного тричлена є парабола з віссю симетрії, паралельній осі ординат. Якщо параметр , то вітки параболи напрямлені вгору, при – вниз.

 

Аналогічно, рівняння визначає параболу, вісь симетрії якої паралельна осі .

 

Ці рівняння паралельним перенесенням системи координат перетворюються до канонічного виду рівняння параболи.

 

Приклад 7.

 

Привести до канонічного виду рівняння , побудувати параболу.

 

Розв’язання.

Виділимо повний квадрат по змінній .

 

.

 

Тепер маємо , або .

 

Виконаємо паралельне перенесення системи координат:

 

,

 

,

 

– центр нової системи координат.

 

В новій системі координат рівняння параболи матиме вид:

 

– канонічне рівняння параболи з вершиною в точці .

 

 

х

 

 

ГРАФІК ОБЕРНЕНО ПРОПОРЦІЙНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ

 

 

Розглянемо функцію . Графіком цієї функції є рівнобічна гіпербола, асимптоти якої співпадають з координатними осями.

 

Для того, щоб привести дане рівняння до канонічного виду, труба виконати поворот осей координат на кут .

При гілки гіперболи розташовані і І та ІІІ чверті, а її дійсна піввісь співпадає з віссю ; при – гіпербола розташована в ІІ та ІV координатних кутах, дійсна піввісь співпадає з віссю .

 

Старі осі та є бісектрисами координатних кутів нової системи і асимптотами рівнобічної гіперболи.

 

Питання для самоперевірки

 

1. Що називається кривою другого порядку?

 

2. Дайте означення кола. Яке канонічне рівняння кола? Який вид має рівняння кола з центром в початку координат?

 

3. Що називається еліпсом? Яке канонічне рівняння еліпса?

 

4. Що називається ексцентриситетом еліпса? Як змінюється форма еліпса, якщо ексцентриситет зменшується, наближаючись до нуля; або збільшується, наближаючись до одиниці?

 

5. Дайте означення гіперболи. Яке канонічне рівняння гіперболи? Що називається ексцентриситетом гіперболи?

 

6. Які прямі називаються асимптотами гіперболи? Який вид мають рівняння асимптот гіперболи, заданої канонічним рівнянням?

 

7. Яка гіпербола називається рівнобічною?

 

8. Що називається параболою? Який вид має канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі ; відносно осі ?

 

9. Що називається директрисами еліпса, гіперболи?

 

10. Який вид мають формули перетворення прямокутних координат при паралельному перенесенні системи координат? При повороті системі координат на кут ?

 

11. Що являється графіком квадратного тричлена?

 

12. Обернено пропорційна залежність. Що являється її графіком?

 

Задачі до розділу 2

 

41. Знайти координати центра і радіус кола .

 

42. Дані точки ; . Написати рівняння кола, діаметром якого є відрізок .

 

43. Привести до канонічного виду рівняння .

 

44. Знайти відстань між центрами двох кіл: і .

 

45. Скласти рівняння кола, яке проходить через точки , , .

 

46. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює 16, а ексцентриситет .

 

47. Побудувати, виписати основні числові характеристики: .

 

48. Записати рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично початку координат, якщо велика піввісь дорівнює 13, а відстань між фокусами – 10.

 

49. Записати рівняння еліпса, що проходить через точки , і центр якого співпадає з початком координат, а осями симетрії є осі координат.

 

50. Еліпс, симетричний відносно осей координат, фокуси якого розташовані на осі , проходить через точку і має ексцентриситет . Написати рівняння цього еліпса.

 

51. Записати канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку і має асимптоти .

52. Фокуси гіперболи співпадають з фокусами еліпса . Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет .

 

53. Ексцентриситет гіперболи дорівнює . Скласти канонічне рівняння гіперболи, що проходить через точку .

 

54. Побудувати, виписати основні числові характеристики: .

 

55. Записати рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі симетрично відносно початку координат, якщо відстань між директрисами дорівнює , а ексцентриситет .

 

56. Записати рівняння параболи, фокус якої знаходиться в точці , а рівняння директриси .

 

57. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо ця парабола проходить через точку і симетрична відносно осі .

 

58. Визначити координати фокусів і рівняння директрис для парабол: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

59. Знайти відстань від точки параболи до її вершини, якщо абсциса точки дорівнює 8.

 

60. Написати рівняння параболи, що проходить через точки і і симетрична відносно осі .

 

В задачах 61–80 потрібно привести рівняння параболи до канонічного виду, побудувати їх.

 

 

61. .

 

62. .

 

63. .

 

64. .

 

65. .

 

66. .

 

67. .

 

68. .

 

69. .

 

70. .

 

71. .

 

72. .

 

73. .

 

74. .

 

75. .

 

76. .

 

77. .

 

78. .

 

79. .

 

80. .

 

В задачах 81–100 потрібно скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до даної точки і до даної прямої (або ) дорівнює числу . Одержане рівняння привести до канонічного виду і побудувати криву.

 

81. , , .

 

82. , , .

 

83. , , .

 

84. , , .

 

85. , , .

 

86. , , .

 

87. , , .

 

88. , , .

 

89. , , .

 

90. , .

 

91. , , .

 

92. , .

 

93. , , .

 

94. , , .

 

95. , , .

 

96. , , .

 

97. , , .

 

98. , , .

 

99. , , .

 

100. , , .

 

 

 

 

РОЗДІЛ 3.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

 

Означення. Вектором називають напрямлений відрізок , точка – початок, а точка – кінець. Векторна величина характеризується числовим значенням і напрямом.

 

Геометрично вектор зображують напрямленим відрізком простору.

 

Означення. Модулем вектора називається довжина відрізка, який зображує вектор і позначається або .

Означення. Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих.

 

Означення. Два вектори називають рівними, якщо вони колінеарні, напрямлені в одну сторону і мають рівні модулі.

 

Означення. Вектори називають компланарними, якщо вони розташовані в одній або паралельних площинах.

 

Означення. Нульовим вектором називається вектор, у якого початок і кінець співпадають.

 

Модуль нульового вектора дорівнює нулю, а напрям – невизначений.