Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, kсоответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектора пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора ана координатные оси. Проведем через конец вектораОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М1, М2 и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является векторОМ. Тогда пр ха=|OM 1|, npya = |ОМ2|, прzа=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ 1 + M1N + NM.

А так как M 1N=OM 2, NM =ОМз, то

а=ОМ 1 + ОМ 2+ ОМ3 (5.1)

Обозначим проекции вектораа=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через ах, ау и az, т.е. |OM1| = ах,|ОМ2| = ау, |ОМ3| = аz. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=axi+ayj+azk(5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, azназываются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (ax;ay;az).

Равенство b = (bx;by; bz) означает, что b = bх•i+b у •j + bz • k. Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a,b,g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектораe являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

 

Действия над векторами, заданными проекциями.

Пусть векторы а = (ax; ay; az) и b=(bx; by; bz) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = ах •i + ау • j +аz • k, b =bх • i + bу • j + bz • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1. а ± b = (ах ±b х)i + (ау ± by)j + (az ± bz)k, или кратко а ± b = (ах ±bx; ay± by; az ± bz). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2. l а = l ах • i + l ау • j + l az • k или короче l а = (lах; lау; lаz). То есть при умножении вектора на скаляр координатывектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: a х= bх; ау = by; az= bz, т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки

М, обозначается r, т. е. ОМ= r. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z).

Координаты вектораНайдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A(x1; y1; z1) и В(x2;у2; z2). Имеем (см. рис. 13):

AB=OB-OA=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2 - x1)i+(y2 - y1)j+(z2 - z1)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2-х1;у2-у1; z2- z1).