Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Матрицы. Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m x n и пишут Аmxn.Числа aij составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

А=В,если aij=bij (i=1,m, j=1,n)

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой O.

В матричном исчислении матрицы O и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом,

Т.е. (5)1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ

 

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ)Т=А

 

Действия над матрицами.

Сложение

Операция сложенияматриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij) называется матрица Cmxn=(cij) такая, что cij=aij+bij (i=1,m, j=1,n)

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы. Amxn=(aij) на число k называется матрица Bmxn=(bij),такая, что.bij=k*aij (i=1,m, j=1,n)

Матрица -А = (-l)*A называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на числообладают следующими свойствами:

1.А+В=В+А

2.А+(В+С)=(А + В) + С

3.А+О=А

4.А-А=О

5.1*А=А;

6.а*(А+В)=аА+аВ;

7.(а+в)*А=аА+вА

8.а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С — матрицы, а и в-числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

·перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

·умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

·прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Такую матрицу называют канонической, например

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведение матрицы на матрицу называется матрица такая, что

cik=ai1*b1k+ai2*b2k+…+ain*bnk. где (i=1,m, j=1,n)

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Получение элемента Cik схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

Пример 1.6. Найти произведение матриц А и В

Произведение А*В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение В * А, которое считают следующим образом:

.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1.А*(В*С)=(А*В)*С;

2.А * (В + С) = АВ + АС

3.(А+В)*С=АС+ВС;

4.а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

1.(A+B)T=AT+BT

2.(АВ)Т=ВTАT

 

Определители. Основные понятия.

Квадратной матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычислениеопределителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Решение:

det A=5*1*(-3)+(-2)*(-4)*6+3*0*1-6*1*1-3*(-2)*(-3)-0*(-4)*5=-15+48-6-18=48-39=9

 

Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определительможет быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента aijопределителя n-го порядка называется определитель(n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

Алгебраическим дополнением элемента aijопределителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и сознаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается

Aij: Aij=(-1)i+j*mij.

Так A11=+m11,A32=-m32.

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

 

Невырожденные матрицы. Основные понятия.

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определительΔ=detА не равен нулю: Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А. называется матрица

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя)

 

Обратная матрица.

Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

A*A-1=A-1*A=E

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3.1 Всякая невырожденнаяматрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и инайдем произведение матриц A,A*

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Отметим свойства обратной матрицы:

1. det(A-1)=1/det A;

2. (A*B)-1=B-1*A-1;

3. (A-1)T=(AT)-1

Пример 3.1.

Пример 3.3.

 

Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера m х n.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k≤min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких минoров можно составить штук, где

—число сочетаний из n элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангомматрицы. Обозначается r(A) или rang A.

Очевидно, что 0≤r≤min(m; n), где min(m; п) — меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисныхминоров.

Пример 3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля значит, r(А)=2. Базисный минорстоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг каноническойматрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычислениярангаматрицы.

Пример 3.5.

Найти ранг матрицы

используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

то есть

Таким образом, ранг матрицы А равен r(A)=2.

 

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

— вектор-столбец из неизвестных xj.

— вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,..., xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частнымрешением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами,системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=...=xn=0 является решением системы. Это решение называетсянулевым или тривиальным.

 

Пример 4.1.

 

Пример 4.3.

 

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхnотличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность:

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленноемножество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная системаn линейных уравнений с nнеизвестными

 

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определительD был равен нулю, т. е. D=0.

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечноемножество (ненулевых) решений.

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x3=0,получаем одно частное решение: x1=0, x2=0, x3=0. Положив x3=1, получаем второе частное решение: x1=2, x2=3, x3=1 и т д.

 

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхnотличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность:

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленноемножество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная системаn линейных уравнений с nнеизвестными

 

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определительD был равен нулю, т. е. D=0.

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечноемножество (ненулевых) решений.

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x3=0,получаем одно частное решение: x1=0, x2=0, x3=0. Положив x3=1, получаем второе частное решение: x1=2, x2=3, x3=1 и т д.

 

Векторы. Основные понятия.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. ВекторВА (у него начало в точке В, а конец в точке A) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается -а.

Длиной или модулем вектораАВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и bназываются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор а и b называются равными (а = b), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало векторапомещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d, но а¹с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

 

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.

Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ¹0). Обозначим через А1 и b 1проекции на ось l соответственно начала А и конца ВвектораАВ и рассмотрим векторА1В1

Проекцией вектораАВ на ось l называет ся положительное число |A1B 1 |, если векторА 1В 1 и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A 1B 1 |, если векторА 1В1 и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a 1и b1совпадают (А 1В 1 =0), то проекция вектора АВ равна 0.

Проекция вектораАВ на ось l обозначается так: пр l АВ. Если АВ=0или АВ^l, то прlАВ=0.

Угол j между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,0£j£p

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Свойство 1. Проекция вектораa на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла j между вектором и осью, т. е. прla =|a |•cosj.

Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

Свойство 3. При умножении вектораа на число А его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

 

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: a х= bх; ау = by; az= bz, т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки

М, обозначается r, т. е. ОМ= r. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z).

Координаты вектораНайдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A(x1; y1; z1) и В(x2;у2; z2). Имеем (см. рис. 13):

AB=OB-OA=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2 - x1)i+(y2 - y1)j+(z2 - z1)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2-х1;у2-у1; z2- z1).

 

Пример 6.2.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(- 3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.

Отсюда следует, что AC ^ BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

 

Угол между векторами

Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=(bх; bу; bг):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол j с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cosj т. е. А=(F•S).

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 6.3.

Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияA(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?

Пример 6.3.

Вершинами пирамиды служат точки А(1; 2; 3), В(0; -1; 1),С(2; 5; 2) и D (3; 0; -2). Найти объем пирамиды.

Решение: Находим векторы а,bис:

а=AB =(-1;-3;-2), b =АС=(1;3;-1), с=AD =(2; -2; -5).

Находима, b и с:

=-1•(-17)+3•(-3)-2•(-8)=17-9+16=24.

Следовательно, V =1/6*24=4

Матрицы. Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m x n и пишут Аmxn.Числа aij составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

А=В,если aij=bij (i=1,m, j=1,n)

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой O.

В матричном исчислении матрицы O и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом,

Т.е. (5)1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ

 

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ)Т=А

 

Действия над матрицами.

Сложение

Операция сложенияматриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij) называется матрица Cmxn=(cij) такая, что cij=aij+bij (i=1,m, j=1,n)

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы. Amxn=(aij) на число k называется матрица Bmxn=(bij),такая, что.bij=k*aij (i=1,m, j=1,n)

Матрица -А = (-l)*A называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на числообладают следующими свойствами:

1.А+В=В+А

2.А+(В+С)=(А + В) + С

3.А+О=А

4.А-А=О

5.1*А=А;

6.а*(А+В)=аА+аВ;

7.(а+в)*А=аА+вА

8.а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С — матрицы, а и в-числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

·перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

·умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

·прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Такую матрицу называют канонической, например

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведение матрицы на матрицу называется матрица такая, что

cik=ai1*b1k+ai2*b2k+…+ain*bnk. где (i=1,m, j=1,n)

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Получение элемента Cik схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

Пример 1.6. Найти произведение матриц А и В

Произведение А*В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение В * А, которое считают следующим образом:

.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1.А*(В*С)=(А*В)*С;

2.А * (В + С) = АВ + АС

3.(А+В)*С=АС+ВС;

4.а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

1.(A+B)T=AT+BT

2.(АВ)Т=ВTАT

 

Определители. Основные понятия.

Квадратной матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычислениеопределителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Решение:

det A=5*1*(-3)+(-2)*(-4)*6+3*0*1-6*1*1-3*(-2)*(-3)-0*(-4)*5=-15+48-6-18=48-39=9

 

Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.