Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно даному вектору.

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку М₀(x₀; y₀) перпендикулярно даному ненульовому вектору .

Візьмемо на прямій довільну точку M(x; у) і розглянемо вектор =(x–x₀;у–y₀), (див. рис. 21). Оскільки вектори і перпендикулярні, то їх скалярний твір рівний нулю: , тобто

 

(2.8)

рис. 21.

Рівняння (2.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

Вектор , перпендикулярний прямій, називається нормальним вектором цієї прямої. Рівняння (2.8) можна переписати у вигляді

(2.9)

де А і В — координати нормального вектора, - вільний член. Рівняння (2.9) є загальне рівняння прямої (див. (2.4)).

 

 

71) Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці (матричний спосіб).

Коефіцієнти при невідомих запишемо у вигляді матриці, яку назвемо матрицею системи. Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, утворюють стовпець, який називається стовпцем вільних членів. Якщо тепер через позначити стовпець із невідомих, то систему можна записати в матричному вигляді.

Обернена матриця — для кожної невиродженої квадратної матриці , розмірності , завжди існує обернена матриця, позначається така що:

де одинична матриця.

Якщо для матриці існує , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки кожна оборотна матриця є невиродженою.

72) Розклад 2-вимірного та 3-вимірного вектора за базисними векторами. Зміст коефіцієнтів розкладу.

Розглянемо n -вимірний многовид, вміщений в N -вимірний евклідовий простір (). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором , який в прямокутних декартових координатах має вигляд:

Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:

Параметри є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному підпросторі евклідового простору.

Розглянемо другу похідну радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори - дотичний до многовиду і перпендикулярний :

Дотичний вектор можна розкласти по базису :

Коефіцієнти розкладу (числа ) вивчав німецький математик Елвін Бруно Крістофель, тому вони називаються символами Крістофеля.

Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:

Розриви функції першого роду. Розриви функції другого роду.

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

74. Сформулювати умови рівності визначника нулю.
Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0. Визначник з двома пропорцiйними рядками (стовпчиками) дорiвнює нулю. Якщо один з рядків (стовпчиків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Теорема Кронеккера-Капеллі.

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді,коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці

Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

Точки перегину функції.

В математиці, точкою перегину, плоскої кривої називається точка кривої в якій змінюється знак кривизни. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від вгнутої.

Властивості

• Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′ (x).
• Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.

• Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:

78.Скалярним добутком двох векторів називається число яке дорівнює сумі добутків відповідних кординат.

79. Два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто, кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

Умови паралельності прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов:
а) внутрішні різносторонні кути рівні;
б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ;
в) зовнішні різносторонні кути рівні;
г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ;
д) відповідні кути рівні,— то прямі пара­лельні.
Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху-швидкість