Віддаль між двома заданими точками

Віддаль між двома заданими точками

Для будь-яких точок A (a) і B (b) координатної прямої відстань AB дорівнює модулю різниці координат цих точок, тобто

6.Властивості визначників:

1) det А=йЛ Ат, тобто визначник не змінюється при транспонуванні матриці;

2) якщо одна стрічка визначника складається лише з нупів, то визначник рівний иупю (те ж саме відноситься до стовпця);

3) при перестановці двох стрічок (стовпців) місцями визначник змінює знак;

4) визначник, що містить дві однакові стрічки (стовпці) рівний нупю;

5) якщо всі елементи деякої стрічки визначника помножиги на довільне число к то сам визначник помножиться на це ж число;

наслідок: спільний множник всіх елементів стрічки або стовпця можна винес-ти за знак визначника;

6) визначник, який містить дві пропорційні стрічки (стовгщі) рівний нупю;

7) якщо до елементів однієї стрічки (стовпця) додати елементи ішпої (можливо домножені на деякий коефіцієнт), то визначник не зміниться;

8) визначник трикугної матриці рівний добугку елементів, які розміщені на го-ловнійдіагоналі матрщі;

9) визначник добугку матрщь рівний добугку визначників матриць

 

7. Геометричний зміст похідної

v(t) = S'(t).

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0: y' = f'(x0) = k = tgα.

 

 

8. Горизонтальна асимптота - пряма виду за умови існування межі .

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0.

Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції,

оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до

властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре

вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у

сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

9. Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця) і допускаючий операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. В даній статті вони розглядатися не будуть.

Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.

Матрицю, що складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею m -на- n (або mn -матрицею), а m і n — її розмірністю.

Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i -го рядка з j -им стовпчиком, називають i,j -им елементом або (i, j)-им елементом A.

Записують це як A_i,j чи A [i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A [i,j] позначають як a_ij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Додавання

Якщо дано дві матриці m -на- n A і B, можемо означити їх суму A + B як матрицю m -на- n, що утворюється додаванням відповідних елементів, себто,
(A + B)[ i, j ] = A [ i, j ] + B [ i, j ]. Наприклад,

Множення на скаляр

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[ i, j ] = cA [ i, j ]. Наприклад,

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m -на- n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

Множення матриць

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m -на- n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n -на- p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m -на- p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[ i, j ] = A [ i, 1] * B [1, j ] + A [ i, 2] * B [2, j ] +... + A [ i, n ] * B [ n, j ] для кожної пари i та j.

 

 

10. Визначник — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Визначник 2×2 матриці

Щоб знайти визначник матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

 

Дати означення мінору довільного елемента визначника n-порядку.

Мінором M_ij визначника n-порядку назв. визначник n-1 порядку, який отриманий з початкового шляхом ви креслення i-го рядка та j-го стовпчика.

Знаходження координат вектора за відомими координатами початку та вершини.

Відрізок, у якому точка A – початок, а точка B – вершина, наз. вектором. Нехай A (x₁;y₁), a B (x₂;y₂), то АВ(вектор) = (x₂-x₁; y₂-y₁)

Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

§ функція f називається зроста́ючою на M, якщо

.

§ функція f називається стро́го зроста́ючою на M, якщо

.

§ функція f називається спадною на M, якщо

.

§ функція f називається стро́го спадною на M, якщо

.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною

28.Основні види матриць

 

Визначення матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців.

Основні поняття матриці: Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n - їїпорядком.

У подальшому для запису матриці будуть застосовуватися позначення:

 

 

Хоча іноді в літературі зустрічається позначення:

 

Втім, для короткого позначення матриці часто використовується одна великабуква латинського алфавіту, (наприклад, А), або символ | | aij | |, а іноді і зроз'ясненням: A = | | aij | | = (aij) (i = 1, 2,..., m; j = 1,2,... n)

Числа aij, що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j - номерстовпця.

Наприклад, матриця

це матриця порядку 2 × 3, її елементи a11 = 1, a12 = x, a13 = 3, a21 =- 2y,...

Отже, ми ввели визначення матриці. Розглянемо види матриць і дамовідповідні до них визначення.

 

Види матриць

Введемо поняття матриць: квадратних, діагональних, одиничних і нульових.

Визначення матриці квадратної: Квадратної матрицею n-го порядку називаєтьсяматриця розміру n × n.

У разі квадратної матриці

 

 

вводяться поняття головної і побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриціназивається діагональ, що йде з лівого верхнього кута матриці в правий нижнійїї кут.

 

 

Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ, що йде з лівогонижнього кута в правий верхній кут.

 

 

Поняття діагональної матриці: діагональної називається квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю.

 

Одиничної (позначається Е іноді I) називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі.

 

Означення розв’язку СЛАР.

Розв'язати систему СЛАР – значить знайти такі значення невідомих = , = ,.... = , при підстановці яких у систему СЛАР усі її рівняння обертаються у тотожність.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Теорема Кронеккера-Капеллі.

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді,коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці

Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

Точки перегину функції.

В математиці, точкою перегину, плоскої кривої називається точка кривої в якій змінюється знак кривизни. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від вгнутої.

Властивості

• Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′ (x).
• Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.

• Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:

78.Скалярним добутком двох векторів називається число яке дорівнює сумі добутків відповідних кординат.

79. Два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто, кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

Умови паралельності прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов:
а) внутрішні різносторонні кути рівні;
б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ;
в) зовнішні різносторонні кути рівні;
г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ;
д) відповідні кути рівні,— то прямі пара­лельні.
Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху-швидкість

83.

84. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

 

Віддаль між двома заданими точками

Для будь-яких точок A (a) і B (b) координатної прямої відстань AB дорівнює модулю різниці координат цих точок, тобто

6.Властивості визначників:

1) det А=йЛ Ат, тобто визначник не змінюється при транспонуванні матриці;

2) якщо одна стрічка визначника складається лише з нупів, то визначник рівний иупю (те ж саме відноситься до стовпця);

3) при перестановці двох стрічок (стовпців) місцями визначник змінює знак;

4) визначник, що містить дві однакові стрічки (стовпці) рівний нупю;

5) якщо всі елементи деякої стрічки визначника помножиги на довільне число к то сам визначник помножиться на це ж число;

наслідок: спільний множник всіх елементів стрічки або стовпця можна винес-ти за знак визначника;

6) визначник, який містить дві пропорційні стрічки (стовгщі) рівний нупю;

7) якщо до елементів однієї стрічки (стовпця) додати елементи ішпої (можливо домножені на деякий коефіцієнт), то визначник не зміниться;

8) визначник трикугної матриці рівний добугку елементів, які розміщені на го-ловнійдіагоналі матрщі;

9) визначник добугку матрщь рівний добугку визначників матриць

 

7. Геометричний зміст похідної

v(t) = S'(t).

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0: y' = f'(x0) = k = tgα.

 

 

8. Горизонтальна асимптота - пряма виду за умови існування межі .

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0.

Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції,

оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до

властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре

вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у

сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

9. Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця) і допускаючий операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. В даній статті вони розглядатися не будуть.

Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.

Матрицю, що складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею m -на- n (або mn -матрицею), а m і n — її розмірністю.

Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i -го рядка з j -им стовпчиком, називають i,j -им елементом або (i, j)-им елементом A.

Записують це як A_i,j чи A [i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A [i,j] позначають як a_ij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Додавання

Якщо дано дві матриці m -на- n A і B, можемо означити їх суму A + B як матрицю m -на- n, що утворюється додаванням відповідних елементів, себто,
(A + B)[ i, j ] = A [ i, j ] + B [ i, j ]. Наприклад,

Множення на скаляр

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[ i, j ] = cA [ i, j ]. Наприклад,

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m -на- n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

Множення матриць

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m -на- n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n -на- p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m -на- p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[ i, j ] = A [ i, 1] * B [1, j ] + A [ i, 2] * B [2, j ] +... + A [ i, n ] * B [ n, j ] для кожної пари i та j.

 

 

10. Визначник — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Визначник 2×2 матриці

Щоб знайти визначник матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі: