Знаходження оберненої матриці через союзну.

Сою́зною (приє́днаною) до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первісної матриці, і транспонована потому.

Обернена Матриця обчислюється за формулою A^-1 = A^*/det A

(det A – визначник матриці)

 

 

21.Канонічне рівняння площини в просторі:
Аx + By + Cz + D = 0, де D =-Ax0-By0-Cz0.

 

22.Канонічне рівнянн прямої в 3-вимірному просторі

23. Колінеарні вектори, зв'язок між ними.

Нехай — вектори простору . Тоді вірні такі твердження:

1. Колінеарність - відношення еквівалентності, тобто воно рефлексивно:

2. симметрично:

3. транзитивній:

§ Нулевий вектор колінеарний будь якому вектору:

§ Скалярний добуток векторів колінеарних дорівнює добутку довжин векторів ) (взятих зі знаком «-», якщо вектори протилежно спрямовані)

 

§ Вектори на площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх Псевдоскалярний добуток дорівнює Колінеарні вектори лінійно залежні

§ Існує дійсне число таке, щоо для колінеарних и , за виключенням особливоого випадку . Це означення а також критерій колінеарності.

§ На площині 2 неколінеарних вектора утворюють базис. Це означає, що будь-який вектор можна представити у вигляді: . Тоді будуть координатами в данному базисі.

 

Два ненульових (не рівних 0) вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Припустимо, але не рекомендується синонім - «паралельні» вектори. Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямовані («направлені») або протилежно направлені (в останньому випадку їх іноді називають «антиколлінеарнимі» або«антипаралельними»).

 

24.Критичні точки функції.

Критичною точкою диференційовної функції , де — область в , називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють нулю. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої -гладкої функції має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції f = const будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень , і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді . У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення f у ній менший максимального можливого (що дорівнюєmin{ n, m }).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

 

 

25.Кут між двома векторами

 

26.

Кут між двома прямими в просторі.Умови паралельності та перпендикулярності.Кут між двома прямими і, заданих рівняннями визначається як кут між їх направляючими векторами та тому,
Якщо прямі і паралельні, то їх направляючі вектори і будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих
Якщо прямі і перпендикулярні, то, і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих

 

27 Монотонні функції.

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

§ функція f називається зроста́ючою на M, якщо

.

§ функція f називається стро́го зроста́ючою на M, якщо

.

§ функція f називається спадною на M, якщо

.

§ функція f називається стро́го спадною на M, якщо

.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною

28.Основні види матриць

 

Визначення матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців.

Основні поняття матриці: Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n - їїпорядком.

У подальшому для запису матриці будуть застосовуватися позначення:

 

 

Хоча іноді в літературі зустрічається позначення:

 

Втім, для короткого позначення матриці часто використовується одна великабуква латинського алфавіту, (наприклад, А), або символ | | aij | |, а іноді і зроз'ясненням: A = | | aij | | = (aij) (i = 1, 2,..., m; j = 1,2,... n)

Числа aij, що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j - номерстовпця.

Наприклад, матриця

це матриця порядку 2 × 3, її елементи a11 = 1, a12 = x, a13 = 3, a21 =- 2y,...

Отже, ми ввели визначення матриці. Розглянемо види матриць і дамовідповідні до них визначення.

 

Види матриць

Введемо поняття матриць: квадратних, діагональних, одиничних і нульових.

Визначення матриці квадратної: Квадратної матрицею n-го порядку називаєтьсяматриця розміру n × n.

У разі квадратної матриці

 

 

вводяться поняття головної і побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриціназивається діагональ, що йде з лівого верхнього кута матриці в правий нижнійїї кут.

 

 

Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ, що йде з лівогонижнього кута в правий верхній кут.

 

 

Поняття діагональної матриці: діагональної називається квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю.

 

Одиничної (позначається Е іноді I) називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі.