Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину

Крива називається опуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Крива називається вгнутою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої.

y

 

 

 

x

	a		c		b

 

 

 

На рисунку крива опукла на , вгнута на , - точка перегину.

Опуклість і вгнутість кривої, яка є графіком функції , характеризується знаком її другої похідної: якщо в деякому інтервалі < , то крива опукла на цьому інтервалі, а якщо > , то крива вгнута на цьому інтервалі.

Інтервали опуклості і вгнутості можуть відділятися один від одного або точками, де друга похідна дорівнює нулю, або точками, де друга похідна не існує. Ці точки називаються критичними точками II роду.

Якщо при переході через критичну точку II роду друга похідна змінює знак, то графік функції має точку перегину .

Правило знаходження точок перегину графіка функції :

1) знайти область визначення функції;

2) знайти критичні точки II роду функції ;

3) дослідити знак в інтервалах, на які критичні точки ділять область визначення функції . Якщо критична точка поділяє інтервали, де різних знаків, то є абсцисою точки перегину графіка функції;

4) обчислити значення функції в точках перегину.

 

Зразки розв’язування задач

Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. .

 

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або . Маємо , звідки .

б) існує на всій області визначення.

3) Знаки :

при ; при .

Отже, на інтервалі крива вгнута. Враховуючи, що в точці функція неперервна, робимо висновок, що крива опукла на інтервалі . При переході через точку друга похідна змінює знак, тому - точка перегину. В точці перегину немає.

4) . - точка перегину.

 

2. .

 

1) .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або , звідки , .

б) існує для всіх .

3) Знаки :

 

 

Крива опукла на інтервалах і , вгнута на інтервалі .

В точках і графік має перегин.

4) .

.

і - точки перегину.

 

3. .

 

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , , звідки або .

б) існує для всіх .

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалах і , вгнута на інтервалах і .

В точках графік має перегини.

4) .

, .

- точки перегину.

4. .

 

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при , але .

Критичних точок II роду немає, графік не має точок перегину.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі .

 

 

5. .

 

1) Область визначення функції: .

.

 

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що .

б) існує на всій області визначення.

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

 

Графік функції вгнутий на всій області визначення.

 

 

6. .

 

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при , тому - критична точка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі . При графік має перегин.

4) .

- точка перегину.

7. .

 

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що .

б) існує для всіх .

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалах і .

Завдання для самостійної роботи

Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Асимптоти кривих

Пряма називається асимптотою кривої, якщо точка кривої необмежено наближується до неї при віддалені її від початку координат. Розрізняють вертикальні, похилі (горизонтальні) асимптоти.

а) Вертикальні асимптоти.

Графік функції при має вертикальну асимптоту, якщо або ; при цьому точка є точкою розриву II роду. Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд .

б) Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти , де , , якщо ці границі існують і скінченні.

Слід окремо розглянути випадки, коли та .

 

Зразки розв’язування задач

Знайти асимптоти кривих.

1. .

а) .

В точці функція має розрив II роду, тому що .

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

Тоді - похила асимптота.

2. .

а) Область визначення функції:

.

.

В точках функція має розриви II роду, тому що . Тому графік має дві вертикальні асимптоти та .

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, . Тоді - горизонтальна асимптота.

3. .

а) Область визначення функції:

.

Обчислимо , тому - точка розриву II роду.

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Похилі асимптоти:

,

.

Маємо: - похила асимптота.

 

4. .

а) Область визначення функції .

Точок розриву II роду немає, тому графік функції не має вертикальних асимптот.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

При (коли ) похилої асимптоти не існує. Знайдемо . Щоб обчислити границю, перетворимо вираз до вигляду . Тоді маємо невизначеність , до якої можна застосувати правило Лопіталя, а саме:

. Маємо: - горизонтальна асимптота.

5. .

а) Область визначення функції: .

.

 

 

Обчислимо , . В точках функція має розрив II роду. Отже, та - вертикальні асимптоти.

б) Похилих асимптот немає, тому що неможливо обчислити коефіцієнти і (функція не визначена при ).

 

Завдання для самостійної роботи

Знайти асимптоти кривих:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .