Функція положень та кінематичні передатні функції механізму

До числа кінематичних характеристик відносяться також і ті, що не залежать від закону руху початкових ланок (часу), а визначаються лише будовою механізму, розмірами його ланок і, в загальному випадку, залежать від узагальнених координат механізму. Це функції положень та кінематичні передатні функції.

Досить часто при проектуванні механізмів дійсний закон руху початкової ланки вдається визначити лише на наступних стадіях проектування, після динамічного аналізу. У таких випадках вводять кінематичні передатні функції, що не залежать від часу. А кінематичне дослідження виконується в два етапи - спочатку встановлюються залежності кінематичних параметрів ланок від узагальненої координати, тобто визначаються відносні функції (функції положення та кінематичні передатні функції механізму). І тільки після визначення закону руху початкової ланки знаходять залежності кінематичних параметрів вихідних і проміжних ланок від часу.

Функція положень механізму. Функцією положень будь-якої ланки механізму називають залежність координати, що відображає положення даної ланки, від узагальненої координати і геометричних параметрів механізму. Функція положень вихідної ланки є функцією положення механізму. Тобто це залежність φ₃ =φ₃ (φ₁) для третьої ланки механізму на рис. 2.1, або в загальному вигляді φ_n =φ_n (φ₁) при обертальному русі n –ої ланки; при поступальному русі ланки, наприклад, ланки 5 механізму на рис. 1.3, г – залежність s_F = s_F (φ₁). Треба зазначити, що в загальному випадку механізму з декількома ступенями вільності функція положень механізму є функцією усіх узагальнених координат φ_n=φ_n (φ₁, φ₂, …,φ_s), де φ₁, φ₂, …,φ_s - узагальнені координати механізму.

Отже, функція положень є геометричною характеристикою механізму, яка не залежить від закону руху початкової ланки (часу, абсолютних значень швидкостей ланок і т.ін.) і визначається лише структурною схемою механізму та розмірами його ланок. Також відзначимо, що функція положень навіть для найпростіших важільних механізмів виражається складними рівняннями. Однак одержати її у графічній формі розміткою траєкторій неважко. Зупинимося на цій задачі нижче.

Перша та друга кінематичні передатні функції механізму. Диференціюючи двічі функцію положень по узагальненій координаті, отримаємо вирази

,

, .

Одержані функції φ^/_n, s^/_n, і φ^//_n, s^//_n є геометричними характеристиками n -ої ланки механізму і називаються, відповідно, першою та другою передатними функціями механізму. Або s^/_n –кінематична передатна функція швидкості точки (аналог швидкості); φ^/_n - кінематична передатна функція кутової швидкості ланки (аналог кутової швидкості або передатне відношення); s^//_n, φ^//_n, - відповідно передатна функція прискорення або кутового прискорення (аналог прискорення точки або аналог прискорення ланки).

Встановимо зв’язок між вказаними геометричними та кінематичними характеристиками механізму з одним ступенем вільності при обертальному русі n -ої ланки. Продиференціюємо функцію положення за часом

,

тобто, ,

де ω₁, ω_n - кутові швидкості відповідно ланок 1 та n; .

Як бачимо, функція є відношенням миттєвих швидкостей ланок; в загальному випадку її називають передатною функцією. Відношення називається передатним відношенням і позначається u_{n 1}. Відношення кутової швидкості однієї ланки до кутової швидкості другої ланки називається передатним відношенням, позначається буквою u, як правило, з цифровими індексами, що відповідають номерам розглядуваних ланок . Передатне відношення є величиною безрозмірною. Це одна з основних характеристик механізмів передач.

З допомогою другої похідної функції положення за часом визначають кутовіприскорення ланок механізму

.

Якщо ω ₁=const, ε₁=0, то .

Таким чином, дійсна кутова швидкість n -ої ланки механізму дорівнює добутку кутової швидкості ω₁ початкової ланки на першу передатну функцію (передатне відношення u_{n 1}); помноживши другу передатну функцію на ω₁² (при ω₁=const), дістанемо, відповідно, прискорення n -ої ланки. Фізичний зміст передатних функцій такий: перша та друга передатні функції являють собою відповідно швидкість та прискорення n- ої ланки механізму за умови, що . Тому зазначені передатні функції називають також аналогами швидкостей та прискорень.

При поступальному русі ланки викладки аналогічні:

,

.

Якщо ω ₁=const, ε₁=0, тоді .

Передатні функції швидкості та прискорення мають розмірність довжини, кутові передатні функції є безрозмірними величинами.

Оскільки для даної кінематичної схеми механізму передатні функції залежать лише від узагальненої координати і не залежать від закону руху початкової ланки, то кінематичне дослідження можна виконувати суто геометричними методами. Передатні функції дозволяють легко порівнювати закони руху ланок, а отже і знаходити оптимальні параметри механізму за заданими умовами роботи. Кінематичне дослідження за допомогою передатних функцій є ефективним у випадку кількох можливих рухів початкової ланки.

Якщо при проектуванні чи дослідженні механізму задана чи визначена функція положення або одна з передатних функцій механізму, то інші залежності можуть бути встановлені методами диференціювання чи інтегрування як числовими, так і графічними.

 

Плани механізму

 

Визначення переміщень, положень ланок і траєкторій, що описують окремі точки ланок, тобто розв’язання першої основної задач кінематики, можна виконати графічними або аналітичними методами. Досить широко використовується графічний метод - за допомогою побудови планів механізму.

Зображення кінематичної схеми механізму у вибраному масштабі при відповідному положенні початкової ланки називається планом механізму.

Графічне розв’язування задач теорії механізмів потребує зображення різноманітних фізичних величин (шляху, довжин ланок, швидкостей, прискорень, сил і т. ін.) у вигляді ліній тієї чи іншої довжини. Для цього користуються масштабним коефіцієнтом.

Масштабний коефіцієнт (масштаб) є відношення дійсного значення зображуваної величини до довжини відрізка, який цю величину зображує на кресленні. Масштаб позначається літерою μ з індексом того параметра, який зображується графічно.

Масштаб має розмірність: у чисельнику – розмірність зображуваної величини, а у знаменнику - мм (розмірність довжини відрізка на кресленні).

Таким чином, масштаб довжини – це відношення натурального розміру ланки в метрах до довжини відрізка в міліметрах, який зображує цю ланку на кресленні (плані механізму), , де l_AB - справжній розмір; AB - масштабний розмір на кресленні.

При виборі масштабу рекомендують дотримуватися стандартних креслярських масштабів, а також міркувань зручності підрахунків та наочності зображення. Наприклад, масштабу М1:1 відповідає масштабний коефіцієнт μ_l = 0,001м/мм, масштабу М1:2 відповідає μ_l=0,002м/мм і т.ін.

Для побудови планів механізму повинні бути задані розміри всіх його ланок, а якщо будується одне конкретне положення механізму і положення початкової ланки.

У русі більшості механізмів спостерігається циклічність, при цьому усі кінематичні параметри механізмів змінюються періодично. Тому, зазвичай, при дослідженні механізмів будують ряд послідовних положень механізму. При виконанні курсових проектів, як правило, кінематична схема механізму будується для 12 положень.

 

Послідовність побудови планів механізму:

- вибирають масштаб побудови ;

- знаходять довжини відрізків, якими на кресленні зображатимуться ланки (рис. 2.1– отже );

- перш за все, на креслення наносять положення нерухомої ланки (намічаються нерухомі точки механізму, наносяться, при наявності, нерухомі напрямні; на рис. 2.1 - т. О₁, С);

- викреслюють задане положення початкової ланки. Якщо будується n планів механізму, то знаходять початкові (“мертві”, крайні) положення механізму і, відповідно, початкової ланки;

- лише після цього викреслюють групи Ассура в порядку їх приєднання при утворенні механізму.

Наголосимо, що доцільно за початкове положення механізму (кривошипа) вибрати те, яке відповідає одному з крайніх положень вихідної ланки (ланки, до якої прикладена сила корисного опору, або рушійна сила). У кривошипно-повзунному механізмі чи шарнірному чотириланковику (або якщо вони лежать в основі розглядуваних механізмів) вихідна ланка перебуватиме у крайніх положеннях, коли кривошип накладатиметься на шатун, або витягуватиметься в одну лінію з ним. У кулісному механізмі вихідна ланка (куліса СД, рис. 1.3, в) перебуватиме у крайніх положеннях, коли кривошип АВ і куліса утворять прямий кут. Зазначимо, що з двох крайніх положень механізму за початкове вибирають те, що відповідає початку робочого ходу. Оскільки в більшості машин робочий хід здійснюється повільніше (рівномірніше) ніж холостий, то він відповідає руху кривошипа з одного крайнього положення до іншого через більший з центральних кутів. Більший з центральних кутів, що описує кривошип при русі механізму з одного крайнього положення до іншого, називається кутом робочого ходу.

Розглянемо побудову 12 планів механізму на прикладі шарнірного чотириланковика, структурна схема якого зображена на рис. 1.3, а. Виконуємо перші три пункти наведеної вище послідовності побудови планів. Після цього, радіусом О₁А (рис. 2.1) проводимо коло з центром у т. О₁, яке є геометричним місцем миттєвих положень т. А кривошипа 1. Як відомо, закон руху початкової ланки в загальному випадку задається у вигляді рівняння . В технічних задачах при кінематичному дослідженні механізмів закон руху початкової ланки беруть лінійним, тобто швидкість її руху вважають сталою (, дорівнює проектованій середній кутовій швидкості; в дійсності кривошип може обертатися нерівномірно, навіть із зупинками). Таким чином, за рівні проміжки часу кривошип повертається на рівні кути. При побудові 12 планів механізму коло, що описує т. А кривошипа, ділиться на 12 рівних частин, починаючи з початкового положення механізму. Для його знаходження з центра обертання кривошипа О₁ досить зробити засічки радіусами R=АВ-О₁А і R=О₁А+АВ на траєкторії руху т. В - дузі α₃-α₃ (відповідно кривошип О₁А накладатиметься на шатун АВ або витягуватиметься з ним в одну лінію). За початкове положення т. А візьмемо т. А₀, яка відповідає початку робочого ходу (), при заданому напрямі обертання кривошипа. Зрозуміло, що т. не завжди збігається з точками поділу траєкторії т. А на рівні частини, послідовні положення якої позначені А₀, А₁, А₂, …, 11.

Для визначення положення ланок 2 і 3 достатньо встановити положення кінематичної пари В, що шарнірно з’єднує ці ланки між собою. Для цього умовно роз’єднуємо шарнір у т. В і розглядаємо можливі рухи цієї точки. Оскільки нерухомий центр обертання С займає цілком певне положення, то т. В, яка знаходиться на сталій відстані ВС від т. С, може описати тільки дугу кола радіуса ВС. З іншого боку, внаслідок незмінності довжини шатуна АВ точка В може описати навколо т. А тільки дугу радіуса АВ. Таким чином, геометричним місцем можливих положень центра шарніра В є дві дуги кіл радіусів АВ та ВС. Точка перетину цих дуг і дасть дійсне положення т. В для конкретного положення кривошипа.

Отже, якщо потрібно побудувати, наприклад, 3 -тє положення механізму, то з точки А₃ радіусом R=AB робимо засічку на дузі . Точка перетину дуг дає шукане положення т. В₃. Данупобудову називають способом засічок. Для знаходження положень ланок 2 і 3 достатньо з’єднати відповідні точки (центри кінематичних пар А та В, В та С) відрізками. Аналогічно будуємо всі інші положення механізму.

Якщо до складу механізму входять декілька груп Ассура, то їх плани будуються аналогічно.

На планах механізму, у разі необхідності, можна побудувати траєкторії, що описують окремі точки ланок. Траєкторії різних точок шатуна мають різноманітну форму, оскільки шатун здійснює плоскопаралельний рух. Траєкторії точок, що розміщені на ланках, які здійснюють плоскопаралельний рух, називають шатунними кривими. Точність побудованої траєкторії залежить від вибраного числа положень механізму і масштабу . На рис. 2.1показано, наприклад, послідовні положення т. S шатуна 2. З’єднавши плавною кривою намічені точки S_i для кожного з положень механізму, одержимо траєкторію т. S. Відмітимо, що шатунні криві можуть бути також описані аналітичними співвідношеннями, але в цьому випадку задача значно ускладнюється. Наприклад, для шарнірного чотириланковика траєкторія т. S описується кривою шостого порядку.

Рис. 2.1

 

Зазначимо, що залежно від вибору положення точки (F, E, K, Н, G) на шатуні отримуються різні шатунні криві (рис. 2.2). Окремі ділянки деяких кривих мало відрізняються від прямих або дуг кіл. Ці ділянки можуть бути використані для спрямляючих механізмів або механізмів із зупинками. Шатунні криві в сучасній техніці широко використовуються для виконання певних рухів робочих органів різних машин і механізмів. Наприклад, у механізмі сіноворушилки, в тістомісильній машині і т.ін.

Подібно будуються плани механізму (кінематичні схеми) інших важільних механізмів другого класу.

Рис. 2.2

При побудові планів механізмів, що мають триповодкові групи, також може бути використаний метод перетину двох траєкторій відносного руху (спосіб засічок). Цей спосіб в розглядуваному випадку ще називають способом удаваних положень або геометричних місць. Оскільки такий метод побудови є досить трудомістким, часто користуються шаблоном, який має форму базисної ланки.

У випадку механізмів з вищими кінематичними парами (наприклад, кулачковими) доводиться враховувати, що профілі, або один з них, мають складні контури. Викреслювання послідовно декількох складних профілів є трудомісткою процедурою. У цих випадках доцільно застосувати метод обернення руху (метод інверсії). Суть його полягає в тому, що всьому механізмові (разом зі стояком) надають обертання з кутовою швидкістю, яка дорівнює за величиною, але протилежна за напрямом кутовій швидкості ланки, що має складний профіль (кулачок). Таким чином, рухому ланку зі складним контуром умовно роблять нерухомою; це дозволяє викреслювати її лише один раз. Відносне положення усіх ланок при цьому не змінюється. Приклад використання методу обернення руху буде розглянуто при вивченні кулачкових механізмів.

При побудованих планах механізму неважко побудувати діаграми переміщення та отримати функції положень ланок механізму.

Побудова діаграм переміщення. При дослідженні механізмів будують діаграми лінійних або, при коливальному русі ланки, кутових переміщень. Розглянемо побудову графіка s_B(t) переміщень повзуна В кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.3):

- викреслюють 12 рівновіддалених за кутом повороту кривошипа планів механізму в масштабі ; за початок відліку прийнято нижнє крайнє положення повзуна;

- будують прямокутну систему координат. На осі абсцис відкладають відрізок l, що в масштабі зображає період Т одного оберту кривошипа, тобто , ;

- ділять відрізок l на 12 рівних частин. Від точок поділу 1, 2, 3, …11, паралельно осі ординат, відкладають відрізки 1-1^/, 2-2^/, 3-3^/,..., які у вибраному масштабі зображають переміщення повзуна від крайнього нижнього положення. Якщо переміщення відкладаються безпосередньо з планів механізму (як у прикладі на рис. 2.3), то .

З’єднавши одержані точки 0, 1^/, 2^/,…11^/ плавною кривою, отримують діаграму переміщень повзуна, s_B(t). Оскільки у задачах кінематики прийнято рух кривошипа рівномірним (за однакові проміжки часу він повертається на рівні кути), то можна вважати, що по осі абсцис відкладено і час t і кут повороту кривошипа . Тобто графік s_B(t) одночасно є графіком s_B(j₁), який представляє собою функцію положення механізму. Масштаб цього графіка буде: , або .

Рис. 2.3

 

2.4. Дослідження руху механізмів методом
кінематичних діаграм

 

Якщо один з кінематичних параметрів механізму заданий у вигляді графіка чи таблиці значень, то в цьому випадку ефективними є графічні або чисельні методи диференціювання та інтегрування. Зазначимо, що при експериментальному дослідженні такі графіки викреслюються за допомогою самописних приладів.

Задачі дослідження закономірності зміни переміщень, швидкостей і прискорень за повний цикл (період) руху досліджуваного механізму простіше розв’язуються за допомогою кінематичних діаграм (графіків руху).

У практичних задачах ТММ кожна кінематична діаграма - це графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів ланки: переміщення, швидкості або прискорення як функції від часу або переміщення початкової ланки механізму (як функції від узагальненої координати). Наприклад, у випадку кривошипно-повзунного механізму для т. В повзуна (рис. 2.3) - це залежності s_B(t), v_B(t), a_B(t) або s_B(), v_B(), a_B(). Якщо дослідженню підлягає і- та ланка механізму, яка здійснює обертальний рух, то можна побудувати діаграми , або , .

Розглядуваний метод дозволяє при заданій будь-якій з цих діаграм без значних зусиль отримати інші. Методом кінематичних діаграм часто користуються для наочності та виявлення можливих помилок при обчисленні. Переваги цього методу – простота у використанні й те, що результатом є наочне графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів руху від часу чи узагальненої координати. Варто мати на увазі, що методи графічного диференціювання та інтегрування не завжди можуть забезпечувати достатню точність результатів.

Зазначимо, що до графічного диференціювання та інтегрування необхідно деколи звертатись навіть у тих випадках, коли кінематична функція задана аналітично, але не має достатньо простих формул для визначення похідної чи інтеграла.

Графічне диференціювання. Метод дотичних. Графічне диференціювання використовується, коли є графік функції, а потрібно отримати графік її похідної. Так, наприклад, побудовано графік переміщення повзуна кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.3), а необхідно побудувати графіки швидкості, прискорення.

Розглянемо теоретичні основи графічного диференціювання. Використаємо відому залежність v = . Геометрично, похідна функції визначається тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції, проведеної у точці, абсциса якої є точка диференціювання,

Нехай крива АВ (рис. 2.4) є графік деякої функції . Проведемо дотичну до графіка у т. М₁, що відповідає заданій абсцисі .Відкладемо на осі абсцис вліво від початку прямокутної системи координат відрізок ОР (полюсну відстань), що дорівнює одиниці масштабу. З точки Р (полюса) проведемо пряму, паралельну дотичній до перетину з віссю ординат. Відрізок 01^// буде виражати значення похідної , при заданому значенні .

Проведемо з точки 1^// пряму, паралельну осі 0х, до перетину з ординатою т. М₁. Ордината точки перетину 1^/ і дає значення похідної при заданому значенні . Тобто, точка 1^/ буде точкою шуканої диференціальної кривої. У загальному випадку, ордината диференціальної кривої у будь-якій точці є відрізок, пропорційний до кута нахилу дотичної, що проведена у відповідній точці заданої кривої.

Таким чином, для того, щоб побудувати графік похідної за графіком функції, поділимо ділянку АВ, заданої кривої, на деяке число частин. Далі, розглянутим методом, неважко знайти у точках поділу заданої кривої значення похідної - тобто точки диференціальної кривої. З’єднавши отримані точки плавною кривою, дістанемо графік функції .

Рис. 2.4

Диференціювання методом дотичних має відносно низьку точність, оскільки досить складно проводити дотичні до кривих. Більшого поширення набув метод хорд, який відрізняється більшою точністю. Відмінність методу хорд полягає лише у тому, що значення похідної функції знаходять не у точках поділу кривої, а у точках, що ділять навпіл кожний з інтервалів (рис. 2.5, точки ). Перевагою є те, що при цьому замість дотичних беруться, як правило, з досить великою точністю, хорди, що з’єднують кінцеві точки кожного інтервалу. Метод ґрунтується на відомій теоремі про скінчений приріст функції: якщо функція, що задана графічно, та її перша похідна неперервні, то в будь-якому інтервалі хорда, що стягує дану дугу, паралельна дотичній до кривої, принаймні, в одній точці, яка лежить у середині цього інтервалу.

Зазначимо, що графік похідної буде точнішим при більшій кількості частин поділу кривої. Інтервали не обов’язково повинні бути рівними між собою; їх розмір вибирається з урахуванням того, щоб відповідні частини кривої менше відхилялись від прямої. Особливу увагу треба звернути на ділянки, де крива, яку диференціюють, має екстремуми; ділянки, у яких лінія значно звивається, слід розбивати на більше число частинок.

Масштаби при графічному диференціюванні. Припустимо, що задана крива (рис. 2.5) зображає діаграму переміщень, . Знаючи масштаб переміщень та масштаб часу, для будь-якої точки М(х,у) кривої можна записати , . Тоді

. (2.1)

 

Рис. 2.5

 

Підставимо в (2.1) та ,

де - відрізки 01^//, 02^//, 03^//,..., які зображають в масштабі швидкості у відповідних положеннях механізму; Н – полюсна відстань ОР. Тоді масштаб графіка швидкості можна визначити за формулою

,

або в загальному випадку масштаб диференціальної кривої .

Послідовність диференціювання методом хорд. Задано діаграму переміщення кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.6, а). Побудуємо діаграму швидкості:

- на заданій кривій відмічають ряд точок 1^/, 2^/, 3^/,…, які з’єднують хордами, тобто, замінюють задану криву ламаною лінією;

- під діаграмою переміщень будуємо нову систему координат так, щоб осі абсцис були паралельними, а ординат - лежали на одній прямій (рис. 2.6, б). Ділимо вісь абсцис на такі ж інтервали, як і на попередньому графіку;

- відкладаємо по осі абсцис ліворуч від початку системи координат довільний відрізок ОР₁ - полюсну відстань;

Рис. 2.6.

- з точки Р₁ проводимо промені Р₁1^//_, Р₁2^//, Р₁3^//,..., паралельні до відповідних хорд кривої переміщень. Ці промені відтинають на осі ординат відрізки 01^//, 02^//, 03^//,..., що пропорційні середній швидкості повзуна посередині відповідних інтервалів часу;

- перенесемо точки 01^//, 02^//, 03^//,..., на середини ординат відповідних ділянок. З’єднаємо точки 0, 1^/, 2^/,... плавною кривою. Отримана крива і буде діаграмою швидкості.

Маючи діаграму швидкості, аналогічно методом хорд будують, за потреби, діаграму прискорень (рис. 2.6, в).

Зазначимо, якщо діаграму переміщень задано у вигляді функції s_B(), то в результаті графічного диференціювання отримуємо відповідно графіки кінематичних передатних функцій швидкості та прискорення (аналогів швидкості та прискорення).

Масштаби по осях ординат визначаються за формулами:

– для діаграм швидкостей та прискорень , ,

– для діаграм аналогів швидкостей та прискорень , ,

де Н₁, Н₂ – відрізки в мм, взято з креслення (рис. 2.6).

Масштаби по осях абсцис усіх графіків залишаються звичайно такими ж, як і на графіку переміщень.

Порівнюючи графіки (рис. 2.6), можна встановити такий зв’язок між кінематичними діаграмами:

- зростанню ординат кривої функції, що диференціюється, відповідають додатні значення ординат диференціальної кривої, а зменшенню – від’ємні значення;

- екстремальним значенням функції (максимуми та мінімуми) відповідають нульові значення графіка похідної.

- точкам перегину графіка функції відповідають екстремальні значення диференціальної кривої.

Графічне інтегрування. Побудову графіків швидкості за заданим графіком прискорень та графіків переміщень - за графіком швидкостей виконують так званими прийомами графічного інтегрування.

Існує декілька способів побудови інтегральної кривої: спосіб хорд, площ та інші.

Розглянемо спосіб хорд. Інтегрування – це дія, обернена диференціюванню. Відповідно послідовність графічного інтегрування за способом хорд обернена послідовності диференціювання за цим способом. Нехай заданим є графік функції швидкості v(t). Знайдемо графік функції переміщення s(t).