Силовий розрахунок шарнірно-важільного механізму

Розглянемо графічний метод силового дослідження плоских важільних механізмів шляхом складання рівнянь рівноваги та побудови плану сил. Наведемо розрахунок шестиланкового кулісного механізму поперечно-стругального верстата. Вихідними даними для розрахунку є: кінематична схема механізму в заданому положенні (рис. 3.8); маси m_i та моменти інерції I_Si ланок; положення їх центрів мас s_i; кутова швидкість кривошипа; сила корисного опору, в розглядуваному прикладі F_Р - сила різання, яка прикладена до різця (ланка 5), в напрямку, протилежному руху.

Рис. 3.8

Невідомими є реакції у кінематичних парах та зрівноважувальна сила F_зр. Оскільки у даному прикладі задано, що верстат з’єднаний з двигуном за допомогою зубчастої передачі , то зовнішній силовий фактор, який прикладений до зубчастого колеса (ланка 1), являє собою силу, модуль якої треба визначити (напрям та точка прикладання відомі).

Підкреслимо, що до силового розрахунку приступають лише після виконання кінематичного аналізу. Припустимо, що кінематичний розрахунок виконаний, і, отже, відомі повні прискорення центрів мас усіх ланок та їх кутові прискорення за величиною та напрямком. За знайденими прискореннями визначаємо модулі та напрями головних векторів та головних моментів сил інерції всіх ланок за формулами

Вектори сил інерції прикладені в центрах мас і напрямлені в протилежну сторону до напрямків векторів відповідних прискорень a_Si, моменти М_Фі напрямлені протилежно до кутових прискорень .

Визначимо сили ваги усіх рухомих ланок за рівністю

і прикладемо їх у центрах мас s_і ланок вниз по вертикалі.

Розбиваємо механізм на групи Ассура. Даний механізм утворений шляхом послідовного приєднання до механізму І класу (ланки 1,6) двох груп Ассура другого класу: групи третього виду (ланки 2,3) та другого виду (ланки 4,5).

Рис. 3.9

Накреслимо в масштабі найвіддаленішу від вхідної ланки групу Ассура (ланки 4,5) і нанесемо діючі на неї сили: корисного опору F_p, ваги G₄, G₅, сили (і моменти сил) інерції Ф₄, Ф₅, М_Ф4 – усі вони відомі; а також реакції від’єднаних від групи Ассура ланок (рис. 3.9, а). Невідомими є реакції. Реакція стояка на повзун R₅₆ нормальна до напрямної UW. Невідомим є її модуль, а також точка прикладання, яка визначається через плече b. Реакцію в обертальній парі Q, невідому за модулем і напрямом, розкладемо на дві складові , так, щоб момент нормальної складової відносно точки N дорівнював нулю. Невідомі модуль та напрям внутрішньої реакції в шарнірі N визначаються пізніше, через план сил.

Під дією цих сил, згідно з принципом Д’Аламбера, група Ассура перебуватиме в стані умовної рівноваги.

Складову знайдемо з умови рівноваги ланки 4, за рівнянням моментів

,

,

звідки

,

де QN, h₁, h₂ - плечі сил, які вимірюємо на кресленні групи Ассура.

Якщо права частина рівності додатна то це означає, що напрям реакції на схемі прийнято правильно. При від’ємному значенні – потрібно замінити напрям реакції на протилежний.

Подальші силові розрахунки проводимо графічним методом. Складаємо векторне рівняння рівноваги сил, прикладених до всієї групи Ассура (4,5):

,

, (5)

пам’ятаючи, що для системи, яка перебуває в рівновазі, многокутник сил буде замкненим.

Будуємо план сил. Для цього вибираємо масштаб та вираховуємо відповідні відомим силам довжини відрізків. Потім, починаючи від довільно вибраної т. а (рис. 3.9, б), відкладаємо, згідно з рівнянням (5), вектори, що зображають ці сили F_Р, G₅, Ф₅, Ф₄, G₄, у масштабі . Після цього через початок вектора, що зображає на плані силу (т. а), проводимо лінію, паралельну до на кресленні групи Ассура, а через кінець вектора, що зображає (т. с) – лінію, паралельну . Точка d перетину цих двох прямих визначить невідомі реакції . Напрям їх приймається таким, щоб стрілки на векторах сил були орієнтовані в напрямку обходу контура. Повну реакцію в шарнірі Q отримуємо графічно згідно з рівнянням .

 

Рис. 3.10

 

Модулі знайдених реакцій визначаємо за відомими формулами

де - відрізки на плані сил.

Для визначення реакцій у внутрішній кінематичній парі N розглянемо умову рівноваги сил, що діють на ланку 4,

Розв’язок отримуємо, замкнувши на плані сил точки d і f. Модуль реакції дорівнює .

Визначимо координату b точки прикладання реакції . З рівняння моментів усіх сил, що діють на ланку 5 відносно т. N,

,

отримаємо:

.

Якщо плече b буде мати таку довжину, що т. D виявиться поза поверхнею UW, то силова дія стояка 6 на повзун 5 зведеться до двох реакцій , . Знайдена є тоді лише їхньою рівнодійною. Шукані реакції визначаються за допомогою теореми Варіньона

Перейдемо до розгляду групи Ассура 2. Накреслимо в масштабі групу Ассура і прикладемо діючі сили (рис. 3.9, в). Двоповодкова група Ассура третього виду частіше за інші зустрічається в сучасному машинобудуванні. При цьому, часто G₂ =0, Ф₂ =0 або настільки малі, що ними нехтують

До ланок групи прикладені: відома з попереднього розрахунку реакція , а також відомі сили та момент G₃, Ф₃, М_Ф Невідомими є модуль та напрям реакцій R₃₆ i R₂₁ в шарнірах С та В, модуль реакції взаємодії в поступальній парі 2-

Розглянемо рівновагу не групи Ассура, а окремих ланок, які входять до групи, оскільки відомо напрям реакції R₃₂ повзуна на кулісу (реакції у внутрішній кінематичній парі В). Ця реакція нормальна до напрямної CQ і прикладена в т. В (рис. 3.9, г).

За модулем реакцію R₃₂ знайдемо з рівняння моментів сил, що діють на кулісу, відносно т. С

,

звідки , .

Із умови рівноваги повзуна (рис. 3.9, д) маємо

,

, .

Реакцію R₃₆ знаходимо методом планів сил згідно з векторним рівнянням для ланки 3 , .

Для цього з довільно вибраної точки (полюса a, рис. 3.9, е) в масштабі відкладаємо сили Невідома реакція R₃₆ замкне многокутник сил. За модулем .

Переходимо до силового розрахунку механізму І класу. Накреслимо його в масштабі (рис. 3.10, а) і нанесемо діючі сили: відому силу , силу ваги G₁, невідому за модулем і напрямком реакцію R₁₆, та невідому лише за модулем зрівноважувальну силу F_зр. В даному прикладі зрівноважувальна сила являє собою рушійну силу. Лінія дії сили F_зр проходить через полюс зачеплення Р під кутом зачеплення . Положення полюса Р та величина кута визначаються з геометричного розрахунку зубчастої передачі.

Сила F_зр знаходиться з рівняння моментів сил відносно т. А

,

звідки F_зр = .

Відмітимо, що силу F_зр можна також отримати і коротшим шляхом, не роблячи розбивки механізму на групи Ассура, застосувавши теорему М.Є. Жуковського.

Реакцію R₁₆ стояка 6 на кривошип 1 визначимо за допомогою побудови плану сил (рис. 3.10, б) згідно з рівнянням

.

За модулем невідома реакція

 

Теорема Жуковського

 

Визначення зрівноважувальної сили методом М.Є.Жуковського. У випадку задач, у яких необхідно знайти зрівноважувальну силу або зрівноважувальний момент, а визначати реакції в кінематичних парах немає потреби, використовують теорему (метод) Жуковського. Прикладом таких задач є: визначення потужності та типу двигуна, моменту інерції маховика, характеристики регулятора та інші задачі динаміки.

Співвідношення між силами, прикладеними до ланок механізму (включаючи і сили інерції), можна дістати, застосувавши теорему Жуковського про жорсткий важіль: якщо для механізму, що перебуває в русі, побудувати план швидкостей, а потім вектори усіх активних сил та сил інерції, які прикладені в різних точках механізму, повернути на 90⁰ в один і той же бік та перенести в однойменні точки плану швидкостей, то сума моментів цих сил відносно полюса буде дорівнювати нулю.

Замість сил можна повертати план швидкостей на 90⁰, а сили прикладати так, як вони показані на схемі механізму. Тоді теорему Жуковського можна сформулювати таким чином: якщо до плану швидкостей, повернутого на 90⁰, у відповідних точках прикласти всі зовнішні сили (і моменти), сили інерції (і моменти сил інерції), а також зрівноважувальну силу (момент) і розглядати план швидкостей як жорсткий важіль, закріплений у полюсі, то під дією цих сил і моментів він буде перебувати в рівновазі, а сума моментів сил відносно полюса дорівнюватиме нулю. Таким чином, рівновазі механізму відповідає рівновага повернутого плану швидкостей, який розглядається як “жорсткий важіль”, що шарнірно закріплений в полюсі плану.

Доведення теореми ґрунтується на принципі можливих переміщень.

Моменти сил, що прикладені до ланок механізму найчастіше зображають у вигляді пар сил, які переносять на план швидкостей. Якщо моменти , що діють на ланки механізму, переносяться на план швидкостей безпосередньо у вигляді моментів, їх величина визначається рівнянням

де , м – довжина ланки, до якої прикладений момент ; , мм – відрізок плану швидкостей, до якого прикладається момент . При цьому момент має той же знак, що і заданий момент , якщо напрям відрізка ab (порядок літер) співпадає з напрямом відрізка АВ схеми механізму. Якщо напрям ab протилежний АВ, то моменти та мають різні знаки.

Застосування важеля Жуковського дозволяє визначити шукану силу за допомогою тільки одного рівняння моментів. У випадку застосування методу плану сил необхідно провести повний силовий розрахунок механізму.

Відзначимо, що метод Жуковського можна застосовувати для знаходження величини будь-якої сили, якщо точка прикладання та лінія дії цієї сили задані, а також відомі лінії дії, величини та точки прикладання усіх інших сил, які діють на ланки механізму.

З наведеного випливає така послідовність визначення зрівноважувальної сили за способом Жуковського: - креслять кінематичну схему механізму у заданому положенні та вибраному масштабі з прикладеними усіма зовнішніми силами. Моменти замінюють парами сил; - будують план швидкостей, повернутий на 90⁰; - до однойменних точок повернутого плану прикладають усі зовнішні сили, сили інерції, а також зрівноважувальну силу, зберігаючи їх напрям; - складають рівняння суми моментів усіх сил відносно полюса і визначають зрівноважувальну силу.

Приклад. За допомогою важеля Жуковського визначити для механізму, що зображений на рис. 3.11. Згідно з умовою, прикладена в т. А кривошипа.

У довільному масштабі будуємо план швидкостей. Прикладаємо у відповідних точках плану швидкостей всі сили, повернуті на 90⁰ за рухом стрілки годинника. При цьому моменти замінюємо парою сил , що прикладені в точках А та В, зі збереженням напрямку моменту

.

Складаємо рівняння моментів відносно полюса плану швидкостей ,

Звідки .

Якщо при розв’язку даного рівняння сила додатня, то це означає, що її напрям вибрано правильно. При від’ємному значенні правої частини напрям сили треба змінити на протилежний.

 

Рис. 3.11