Методичні вказівки до розв'язання задач

 

При розв'язанні задач на складання рівнянь руху точки необ­хідно виразити координати точки, що рухається, відносно вибраної системи координат через час. При цьому положення точки необхідно показати в поточний момент часу.

Якщо рівняння руху точки відомі, то для одержання кривої, по якій рухається точка, необхідно з рівнянь її руху виключити час.

Якщо рух точки описано в декартовій системі координат, а не­обхідно перейти до натурального способу опису руху точки, то траєк­торію точки визначають за вищевказаним правилом, вибирають на ній початок і направлення відліку дугової координати, а закон руху точки по визначеній траєкторії визначають за формулою:

Знак "+" вибирають в тому випадку, коли точка рухається в бік зростання дугової координати, а “-“ коли точка рухається в зворо­тному напрямку.

Визначення швидкості, дотичного, нормального і повного прискорення, а також радіуса кривизни кривої проводиться за відпові­дними формулами кінематики точки. Для того, щоб правильно показа­ти на рисунку вектори швидкості, дотичного, нормального і повного прискорень точки, слід враховувати знаки проекцій цих векторів на відповідні координатні осі.

 

Задача 8.1

Рух точки задано рівняннями:

де a і b - постійні додатні числа (x, у в см, t в с).

Визначити траєкторію руху точки і закон руху точки по траєкторії, вважаючи відстань від початкового положення точки.

Розв'язання

1) Визначення траєкторії руху точки.

Для одержання рівняння траєкторії в координатній формі необхідно з її параметричних рівнянь виключити параметр t.

Оскільки , то

Це рівняння прямої лінії у відрізках на осях (рис. 8.21).

 

Рис. 8.21

З рівнянь руху точки виходить, що

тобто траєкторією точки є не вся пряма, а її відрізок M₀M₁. Точка здійснює коливальний рух на цьому відрізку. В моменти точка перебуває в точці M₀, в моментів точці M₁ (k = 0,1,2...)

2) Визначення закону руху по траєкторії.

Закон pуxy по траєкторії визначається формулою:

При русі від М₀ до М₁ рухома координата σзростає і перед за­коном інтегрування необхідно поставити знак "+". Оскільки при цьому sin 2t > О, то "+" під знаком інтегрування можна відкинути.

При русі точки від М ₁ до М₀ рухома координата зменшується і пе­ред знаком інтеграла слід поставити знак "-". При цьому sin 2t < О, то мож­на відкинути одночасно знак мінус перед інтегралом і знак "-" під інтегралом.

Таким чином, для будь-якого моменту часу t маємо

Задача 8.2

Визначити траєкторію точки М середини шатуна кривошипно-шатунного механізму (рис. 8.22), якщо ОА = АВ = а см, а кут радіан. Визначити також швидкість і прискорення точки М і повзуна В в момент

 

Рис. 8.22

 

1) Визначення траєкторії точки.

Для визначення траєкторії точки М знайдемо спочатку рівняння її руху, тобто визначимо координати точки М через параметр t. Положення механізму слід показати в поточний момент часу. Згідно рис. 8.22 маємо

(a)

Для визначення траєкторії точки М необхідно з рівнянь руху (СІ) виключити параметр t:

(б)

Піднісши рівняння (б) до квадрата і додаючи їх, одержимо:

Траєкторією точки М є еліпс з на півосями і . В початковий момент координати точки М дорівнюють і 0.

2) Визначення швидкості повзуна: В.

Рівняння руху повзуна

Проекція швидкості повзуна на вісь Ох

а величина швидкості

Проекція і величина швидкості повзуна в момент

будуть:

Так як проекція швидкості повзуна на вісь від'ємна величина, то век­тор швидкості повзуна при направлений в протилежний бік осі Ох.

3) Визначення швидкості точки М.

Проекції швидкості точки М на осі координат

а величина швидкості

4) Визначення прискорення повзуна В.

Проекція прискорення повзуна на вісь

а величина прискорення

Величина прискорення повзуна і його проекція на вісь Ох при від'ємна величина, то направлено в протилежну сторону Ох, тобто від В до О.

5) Визначення прискорення точки М.

Проекції прискорення точки М на осі координат

 

а величина прискорення точки М

оскільки

то

Напрямні косинуси вектора

Напрямляючі конуси вектора W_М мають протилежні знаки з напрямляючими косинусами вектора , тому вектор має направ­лення, протилежне вектору , тобто він направлений від М до О.

 

Задача 8.3

Рух точки заданий рівняннями

де а, b, c — постійні додатні числа (x, у в м, t в с).

Визначити рівняння траєкторії, а також швидкість, дотичне, норма­льне і повне прискорення точки, радіус кривини в довільний і початковий моменти часу. Визначити висоту траєкторії і дальність польоту точки. Вісь Ох направлена горизонтально, вісь Оу - вертикально вгору.

Розв'язання

1) Визначення траєкторії точки.

З рівнянь руху виключаємо параметр t. Для цього з першого рів­няння знаходимо ,

Траєкторією точки є парабола (рис. 8.23).

Рис. 8.23

2) Визначення швидкості точки.

Проекції швидкості на осі координат

Величина швидкості точки

а в момент t = О

2) Визначення дотичного прискорення.

Так як рух точки проходить в бік зростання, то вектори направлені в одну сторону і, отже, маємо Тому

а в початковий момент

В початковий момент вектор дотичного прискорення направлений в протилежну сторону швидкості, оскільки при t = 0 велична від'ємна (рис.8.23).

4) Визначення повного прискорення точки.

Проекції прискорення на осі координат:

а повне прискорення . Повне приско­рення залежить від часу. Вектор направлений в протилежний бік додатного напрямку осі Оу, так як , а - від'ємна величина.

5) Визначення нормального прискорення точки.

Нормальне прискорення точки в момент t

а в початковий момент

Нормальне прискорення завжди направлене по головній нормалі в бік ввігнутості кривої.

б) Визначення радіуса кривини.

а в початковий момент

7) Визначення висоти траєкторії.

В момент t₁, коли точка досягне найвищого положення

, звідки .

Підставивши значення t₁ в вираз для у, одержимо

8) Визначення дальності польоту точки.

В момент зустрічі точки з Землею

Звідки одержуємо t₁=0 (початкове положення точки) і c, а дальність польоту точки

м.

На рис. 8.23 показані швидкості і прискорення точки в різних місцях траєкторії.