Векторний спосіб визначення прискорення

 

Прискоренням точки називається кінематична міра зміни її швидкості точки у прийнятій системі відліку, тобто

(8.30)

Якщо користуватись формулою (1.18) для швидкості точки, то її прискорення у довільний момент часу можна визначити через другу похідну за часом від радіус-вектора:

(8.31)

За одиницю прискорення в системі СІ прийнято метр за секу­нду у квадраті (м/с²).

У загальному випадку руху точки, її прискорення змінюється за часом. В кожний момент часу точка М займає певні положення М₁,М₂,...,М_п на траєкторії, яким відповідають швидкості (рис. 8.15,а). Виберемо довільну нерухому точку О (рис. 8.15) і побудуємо годограф вектора швидкості (крива М₁,М₂,...,М_п). Тоді вектори , спрямовані по відповідних дотичних до годографа вектора швидкості, визначають приско­рення точок М₁,М₂,...,М_п.

Якщо вибрати ще будь-яку нерухому точку О’ та перенести всі вектори прискорень паралельно так, щоб їх початки збігались з цією точкою (рис. 8.15,в), то кінці перенесених векторів , утворюють неперервну криву, що називається годог­рафом вектора прискорень.

Рис. 8.15

 

Координатний спосіб визначення прискорення

 

Якщо рух точки задано координатним способом у вигляді (8.2), то формула (8.32) набуває вигляду:

(8.32)

Звідси випливає, що проекції прискорення точки на осі неру­хомої декартової системи координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкості або другим похідним за часом від відповідних координат точки, тобто,

(8.33)

Модуль та напрям прискорення точки визначаються за формулами:

(8.34)

(8.35)

де - напрямні косинуси.

За рівностями (8.33-8.35) визначається вектор прискорен­ня точки координатним декартовим способом.

Розглянемо координатний полярний спосіб визначення ру­ху точки. Використовуючи вираз для швидкості точки у полярних ко­ординатах (8.27) та формулу (8.30), здобуваємо:

 

Рис. 8.16

 

(8.36)

Беручи до уваги формули (8.26) та (8.27), отримаємо:

(8.37)

Цей вираз являє собою розклад вектора прискорення точки на радіальний і трансверсальний напрями (рис. 8.16).

Відповідні складові прискорення позначимо через і .

Тоді,

(8.38)

Де (8.39)

Модуль та напрям вектора прискорення точки у полярних координатах визначаються за формулами:

(8.40)

(8.41)

 

 

Натуральний спосіб визначення прискорення

 

Деякі відомості з диференціальної геометрії

Рис. 8.17

Розглянемо просторову криву. Нехай буде одиничним век­тором дотичної, проведеної в деякій точці М кривої (рис. 8.17).

 

Рис. 8.18

 

Візьмемо на кривій точку М₁, близьку до точки М і проведе­мо одиничний вектор дотичний цій точці . Перенесемо вектор в точку М і проведемо площину через вектори і , прикладені в точці М. При наближенні точки М₁ до точки М ця площина буде повертатись навколо і в границі займе певне положення. Одержану таким чином площину називають стичною. Через точку М проведе­мо площину, перпендикулярну до дотичної ; вона називається нор­мальною площиною (рис. 8.18). Очевидно, що будь-яка пряма у цій площині, яка проходить через точку М, буде перпендикулярна до тобто буде нормаллю до кривої. Отже, головна нормаль - це одна з не­скінченної множини нормалей до кривої в точці М, яка лежить в сти­чній площині. Площина, що проходить через точку М перпендикуля­рно до головної нормалі, називається спрямною. Лінія перетину спря­мляючої та нормальної площин визначає бінормаль кривої. Очевидно, що бінормаль перпендикулярна до головної нормалі.

Таким чином, у кожній площині кривої можна вказати три взає­мно перпендикулярні напрямки, за якими можна провести дотичну у бік зростання дугової координати (орт ), головну нормаль в бік ввіг­нутості кривої (відповідний орт ), бінормаль з відповідним ортом спрямовану так, що орти , та утворюють праву ортогональну трійку векторів. Прямокутна система координатних осей за ортами , , з початком в точці М утворюють праву ортогональну трійку векторів. Прямокутна система координатних осей за ортами , , з початком у рухомій точці М називається системою натуральних осей, натуральним чи рухомим тригранником.

Зауважимо, що плоска крива повністю лежить у стичній пло­щині, а головна нормаль буде нормаллю до кривої у цій площині.

Введемо поняття кривизни кривої. Позначимо через вели­чину кута між векторами і , проведену в точці М (рис. 8.17).

Цей кут називається кутом суміжності.

Кривиною кривої в точці М називають границю відношення кута суміжності до абсолютного значення дуги ММ₁ = ∆σ.

(8.42)

Величину, обернену кривині в точці М, називають радіусом кривини:

(8.43)

Зауважимо, що кривина прямої дорівнює нулю, а радіус дорів­нює безкінечності. Кривина кола в усіх його точках однакова і дорів­нює оберненій величині радіуса ; радіус кривини дорівнює радіусу кола .