Розкладання вектора прискорення точки за осями натурального тригранника (нормальна і дотична складові прискорення)

 

Вектор швидкості може бути представленим у вигляді

,

де - одиничний вектор дотичної, направлений в сторону додатного відліку дуги; - проекція швидкості на напрям .

На основі виразу (8.32) маємо:

(8.44)

Подамо похідну у вигляді:

(8.45)

Підставивши (8.45) в (8.44), одержимо:

(8.46)

оскільки

Визначимо величину і напрямок вектора . Вектор перпендикулярний вектору . Оскільки похідна вектора постійної довжини перпендикулярна вектору. Отже, вектор направлений по якійсь нормалі.

Нехай в момент часу t точка перебуває в положенні М на траєкторії, а в момент - в положенні М₁, переносячи вектор в точку М. знайдемо зміну вектора за проміжок часу

Вектор при русі точки в напрямку додатного відліку дуги направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 8.19,а), а при русі точки в бік від'ємного відліку дуги - направлений в бік випуклості траєкторії (рис. 8.19,6).

 

Рис. 8.19, а

 

Рис. 8.19, б

 

Вектор буде завжди направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 1.19, а і б), тому що при вектор направлений протилежно вектору , при він направлений в той самий бік, що і вектор . Вектор лежить в площині, що проходить через точку М і вектори і (площина МАВ).

Отже, вектор лежить в стичній площині, оскільки при площина МАВ збігається з стичною площиною в точці М.

Таким чином, вектор лежить в стичній площині, направлений в бік ввігнутості траєкторії, перпендикулярний до , отже, він направлений по головній нормалі до центра кривини.

Знайдемо тепер величину . Трикутник АМВ рівнобічний (рис. 8.19,а), отже,

або користуючись рівняннями (8.43) і (1.44). одержимо:

Враховуючи, що одиничний вектор головної нормалі, бу­демо мати:

і, отже

(8.47)

З цієї формули випливає, що вектор прискорення лежить в стичній площині.

Складові прискорення за напрямами і відповідно будуть:

Проекція прискорення на напрямок

(8.48)

називається дотичним прискоренням.

Проекція прискорення на головну нормаль

(8.49)

називається нормальним прискоренням.

Нормальне прискорення . Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю.

Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за вели­чиною, а нормальне прискорення - зміну швидкості за напрямком.

Модуль вектора прискорення.

(8.50)

Дотичне прискорення дорівнює нулю при русі точки з постійною за модулем швидкістю і в момент часу, в якій швид­кість досягає екстремальних значень.

Якщо і одного знака, то модуль швидкості точки зростає і рух в цьому випадку називається прискореним (рис. 8.20а).

Якщо ж і різних знаків, то модуль швидкості спадає і рух буде сповільненим (рис. 8.20 б).

 

а) Рис 8.20 б)

При модуль швидкості залишається постійним і рух буде рівномірним.

Нормальне прискорення дорівнює нулю при прямолінійному русі ( J, а також в точках перегину криволінійної траєкторії і в моменти часу, при якому швидкість точки дорівнює нулю.

Радіус кривини траєкторії можна визначити за формулою:

(8.51)

Зазначимо, що для обчислення дотичного прискорення можна використати рівність , оскільки

Якщо рух точки задано координатним способом, у випадку опису руху в декартових координатах то будемо мати:

Для полярних координат одержимо:

 

Окремі випадки руху точки при натуральному способі опису руху

 

Рівнозмінний рух точки

 

Якщо - постійна величина, то рух точки називається рівнозмінним.

Встановимо закон зміни швидкості і закон руху точки по тра­єкторії при рівнозмінному русі. Оскільки.

, то і

Сталу інтегрування С₁, знайдемо, виходячи з початкових умов. Нехай, наприклад, при t = О, , тоді . Закон зміни швидкості прийме вигляд:

(8.52)

Так як

Звідки, інтегруючи, одержимо:

Нехай, наприклад, при t = 0 , тоді і закон руху точки по заданій траєкторії буде мати вигляд:

(8.53)

 

Прямолінійний рух точки

 

Якщо траєкторія точки є прямою лінією, то направляючи одну з координат осей, наприклад, вісь х, вздовж цієї прямої, ми повністю визначимо положення точки заданням її абсциси як функції часу, тоб­то х = x(t). Проекції швидкості і прискорення точки на вісь х згідно формул (8.20) і (8.33) будуть

Модулі швидкості і прискорення відповідно рівні:

Якщо , точки проходить в бік додатнього напрямку осі x. Якщо при цьому , то рух буде прискорений, якщо ж то рух сповільнений. При точка рухається в напрямку протилежному додатному напрямку осі x. Якщо при цьому , то рух сповільнений, якщо ж , то рух прискорений. Як приклад, розглянемо прямолінійний рух точки. За законом

,

де α,ω,ε - постійні величини.

Рух точки за таким законом називають гармонійним.

Величина α, що дорівнює максимальному відхиленню точки від положення х = 0, називається амплітудою коливань; називається фазою і ε - початковою фазою коливань.

Швидкість і прискорення точки, що здійснює гармонійне ко­ливання, відповідно будуть

З формули для випливає, що прискорення точки завжди направлено до початку координат і за модулем пропорційне відхилен­ню точки від початку координат.

Рух за гармонійним законом буде періодичним рухом, тобто через рівні проміжки часу буде повністю повторюватись.

Найменший проміжок часу, після закінчення якого рух повто­рюється, називається періодом коливань. Якщо позначити через Т період коливань, то буде справедлива рівність:

,

звідки

Кількість коливань за одиницю часу називається частотою ко­ливань і дорівнює . Якщо час вимірюється в секундах, то час­тота вимірюється в герцах. Кругова частота дорівнює кількості коли­вань за одиниць часу.

Питання для самоконтролю

 

1. Що означає рух точки?

2. Як визначається рівняння траєкторії при координатному способі опису руху?

3. Яка існує залежність між елементом дугової координати і елемен­том шляху?

4. Чи можна, знаючи закон руху точки по траєкторії, визначити тра­єкторією?

5. Коли перед інтегралом для визначення дугової координати необ­хідно брати "+" і коли "-"?

6. Що називається годографом вектора?

7. Як направлена похідна вектора за скалярним аргументом?

8. Яка існує залежність між радіусом-вектором точки, що рухається. і вектором швидкості цієї точки?

9. Чому дорівнюють проекції швидкостей на декартові осі координат?

10. Рух точки описаний полярними координатами. Як виражаються проекції швидкості на радіальний і поперечний напрямок?

11. Як виражається модуль вектора швидкості точки при натураль­ному способі опису руху?

12. Яка існує залежність між радіусом-вектором і прискоренням точки?

13. Чому дорівнюють проекції прискорення на осі декартової систе­ми координат?

14. Які осі називаються натуральними? Що таке стична площина?

15. Чому дорівнюють проекції прискорення на дотичну, головну но­рмаль і бінормаль?

16. Який напрямок має вектор ?

17. Яку зміну швидкості характеризують нормальне і дотичне при­скорення?

18. Як визначається кінематичний радіус кривини?