Гармонічні коливання. Швидкість і прискорення під час гармонічних коливань.

Нехай матеріальна точка m рівномірно рухається по колу радіуса А з кутовою швидкістю ₀. Виберемо прямокутну систему координат XOY, початок якої помістимо в центрі кола О. Спроектуємо точку m на осі координат. Якщо точка m рівномірно рухається по колу з кутовою швидкістю , то проекція точки m на осі координат здійснюватиме коливальні рухи вздовж осей ОХ та ОY відносно точки О. (рис.69.1). Нехай в початковий момент часу точка знаходилась на осі і кут , утворений радіус-вектором точки m і віссю х, дорівнював нулю (). Координата Х точки m в момент часу t, коли радіус Оm утворює довільний кут з віссю ОХ, визначається рівнянням:

Рис. 29.1 X = Acos , (29.1)

де – фаза коливань, А – максимальне значення координати Х, що дорівнює радіус-вектору Оm. Якщо в початковий момент часу t₀=0 радіус om утворював з віссю ОХ кут , то в будь-який момент часу фазу коливань можна визначити за формулою:

(29.2)

В цьому випадку називається циклічною частотою. Циклічна частота точки m дорівнює кутовій швидкості точки m. Підставивши у (29.1) замість його значення (29.2), одержимо:

x=Acos( ₀t+ ), (29.3)

де х – координата, що періодично змінюється, А – модуль її максимального значення координати (амплітуда), t – час, – циклічна частота, Т – період коливання.

Періодом коливання Т називають проміжок часу, за який здійснюється одне повне коливання. Фізична величина , обернена періоду , яка чисельно дорівнює кількості коливань, що здійснюються за одиницю часу, називається частотою. Частота вимірюється у герцах (Гц). 1Гц=с^-1. Рівняння (69.3) є рівнянням гармонічного коливання.

Коливання, які здійснюються за законами синуса або косинуса, називаються гармонічними.

Фізична система, яка здійснює коливання навколо положення рівноваги, називається осцилятором. Найпростіший гармонічний осцилятор – матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої.

Швидкість V і прискорення а гармонічного осцилятора знайдемо, взявши першу, а потім другу похідну від функції х(t) за часом:

 

 

V= = - A A (29.4)

 

 

a = = = - A = A (29.5)

.

Тут A – амплітуда швидкості точки, A – амплітуда прискорення. Врахувавши те, що , рівняння (29.5) запишемо у вигляді:

 

(29.6)

Як видно із рівнянь (29.3), (29.4) та (29.5), величини X,V та а змінюються за гармонічним законом, але зсунуті одна відносно іншої за фазою: швидкість випереджає зміщення на , а прискорення випереджає зміщення на (рис.29.2).

Рис.29.2

Порівнюючи формули (69.6) та (69.3), легко бачити, що

a = . (29.7)

Врахувавши те, що Acos( t+ ) = x, формулу (69.6) запишемо у вигляді:

(29.8[l1]).

Рівняння (29.8) є диференціальним рівнянням другого порядку. Воно називається кінематичним рівнянням коливального руху, а його розв’язком є рівняння (29.3). Підставивши в другий закон Ньютона (F=ma) замість а його значення (29.7), знайдемо силу, під дією якої здійснюються гармонічні коливання

F = -m x =- kx, (29.9)

де k = m .

Із формули (29.9) видно, що сила пропорційна зміщенню і завжди напрямлена до положення рівноваги. Силою, яка задовільняє вказаним умовам, є сила пружності. Сили, не пружні за природою, але задовольняють умові F= -kx, називаються квазіпружними.

Отже, тіло може здійснювати гармонічні коливання під дією пружних та квазіупружних сил.

Коливання, які відбуваються в ізольованій системі, тобто під дією внутрішніх сил, називають вільними. Якщо внутрішні сили консервативні, то енергія коливальної системи залишається сталою, а коливання називають власними.

 

 

§ З0. Пружинний, математичний та фізичний маятники

1. Розглянемо власні коливання системи, яка складається з невеликого тіла масою m (наприклад кульки, надягненої на шпицю, яка може без тертя ковзати по ній) і пружинки жорсткістю к, один кінець якої з’єднаний із кулькою, а другий жорстко з’єднаний із шпицею (рис.30.1).

Рис.30.1

Сумістимо початок координат з центром мас кульки, коли вона знаходиться у стані рівноваги. Внаслідок зміщення кульки m із положення рівноваги на величину х, на тіло діятиме сила пружності F, напрямлена до положення рівноваги, яка згідно з законом Гука дорівнює:

F=-kx,

де к – коефіцієнт жорсткості пружини.

Під дією сили F кулька набуде прискорення а. Згідно з другим законом Ньютона

або .

Позначивши , одержимо:

a = x (30.1)

·,

Рівняння (30.1) є рівнянням гармонічного коливання. Його розв’язок має вигляд:

x = cos(),

де – циклічна частота. З іншого боку, циклічна частота і період Т пов’язані співвідношенням: . Підставивши у цю формулу замість його значення , знайдемо вираз для обчислення періоду коливань пружинного маятника:

_. (30.2)

Як видно із (30.2), період коливань пружинного маятника пропорційний кореню квадратному із відношення маси тіла до жорсткості пружини.

 

2. Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на тонкій невагомій, нерозтяжній нитці. Найкращим наближенням до моделі математичного маятника є металева кулька, підвішена на легкій нитці.

Коли система перебуває у спокої, то сила тяжіння зрівноважує силу натягу нитки . Якщо кульку відхилити на малий кут , то рівнодійна F сили натягу і сили земного тяжіння намагається повернути кульку в положення рівноваги (рис.30.2)

Рис.30.2

 

Як видно з малюнка, силу F, яка повертає кульку в положення рівноваги, можна записати у вигляді:

F=mgsin . (30.3)

Якщо кут малий, то

, (30.4)

Де L – довжина нитки, x – довжина дуги ОА.

Підставивши у формулу (69.11) замість sin його значення , одержимо:

.

Рівняння руху математичного маятника запишемо у вигляді:

або

. (30.5)

Позначивши , рівність (30.5) запишемо у вигляді:

a= - . (30.6).

Ми одержали рівняння, аналогічне рівнянню (30.1), розв’язком якого є рівняння (29.3). Циклічна частота і період Т пов’язані співвідношенням: .= Підставивши у цю формулу замість його значення , знайдемо вираз для обчислення періоду коливань математичного маятника

.

Отже, математичний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом Т пропорційним кореню квадратному із відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння.

3.Фізичним маятником називають тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, яка не проходить через його центр мас (рис.30.3).

У положенні рівноваги фізичного маятника його центр мас С знаходиться на одній вертикалі з точкою підвісу О, але нижче від неї.

Відхилимо маятник від положення рівноваги на кут . На маятник діятиме момент сили тяжіння М = , що повертатиме маятник до положення рівноваги. Під дією цього моменту маятник почне обертатися відносно осі О. Будемо вважати, що дією моменту сил опору можна знехтувати. За цих умов основне рівняння динаміки обертового руху фізичного маятника можна записати у вигляді:

(30.7)

де – момент інерції відносно осі обертання, що проходить через точку О (у даному випадку вісь перпендикулярна до площини рисунка), – маса маятника, знак «мінус» вказує на те, що обертовий момент намагається повернути маятник у бік зменшення кута . Будемо розглядати кути відхилення такі малі, для яких

Рис. 30.3 виконується приблизна рівність:

(30.8)

де вимірюється у радіанах.

Підставивши значення із формули (30.8) у формулу 30.7), отримаємо:

I . (30.9)

Перепишемо рівняння (30.9) у такій формі:

= 0. (30.10)

Підставивши у одиниці вимірювання та , переконаємось, що розмірність цього виразу дорівнює розмірності частоти у квадраті (с^-2).

Позначимо:

= . (30.11)

Врахувавши позначення (30.11), рівняння (30.10) можна записати у вигляді:

(30.12)

Розв’язком рівняння (30.12) є рівняння:

(30.13)

де – циклічна частота власних коливань маятника.

(30.14)

Прирівнявши праві і ліві частини рівняння (30.14) і (30.11), отримаємо:

(30.15)

Із рівняння (30.15) визначимо період коливань Т фізичного маятника:

(30.16)

Позначимо:

(30.17)

Врахувавши позначення (30.17), формулу (30.16) можна записати у вигляді:

(30.18)

Величину називають зведеною довжиною фізичного маятника. Зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань фізичного маятника.

Точку О^І, що міститься на лінії ОС на відстані від точки підвісу О, називають точкою коливань, або центром коливань фізичного маятника. Якщо в цій точці помістити вісь коливань фізичного маятника, то його період коливань не зміниться. Точка підвісу фізичного маятника і його центр коливань О^І є спряженими. Ця властивість використовується в оборотних маятниках, які застосовуються для визначення з великою точністю прискорення вільного падіння у різних точках Землі.