Розділ VII Коливання і хвилі

Розділ VII Коливання і хвилі

§ 29. Гармонічні коливання. Швидкість і прискорення під час гармонічних коливань.

§ 30. Пружинний, математичний та фізичний маятники.

§ 31. Енергія гармонічних коливань.

§ 32. Коливання, що згасають.

§ 33. Вимушені коливання. Резонанс.

§34. Додавання однаково напрямлених гармонічних коливань. Поняття про гармонічний аналіз.

§ 35. Додавання взаємно перпендикулярних коливань.

§ 36. Поширення коливань в пружному середовищі. Хвилі. Фронт хвилі. Рівняння хвилі.

§37. Енергія хвильового руху. Потік енергії.

§ 38. Звукові хвилі. Ультразвук. Інфразвук.

§ 39. Ефект Доплера.Гармонічні коливання. Маятники. Енергія гармонічних коливань

Енергія гармонічних коливань

 

Під час гармонічних коливань матеріальної точки відбуваються періодичні взаємні перетворення кінетичної w_k і потенціальної w_p енергії. Потенціальна енергія осцилятора виражається формулою:

,

а потенціальна крива має вигляд параболи (рис.31.1). Це потенціальна яма, дно якої відповідає положенню рівноваги осцилятора (точка О). Із зростанням координати Х зменшується кінетична енергія w_k і збільшується потенціальна енергія w_p. Потенціальна енергія досягає максимального значення w_p в точках х= А.

Рис.31.[l2] 1

Повна механічна енергія гармонічного осцилятора масою m в будь-який момент часу дорівнює сумі його кінетичної та потенціальної енергій:

W = + ,

або

W = . (31.1)

Врахувавши, що k =m , і підставивши у (31.1) значення координати x і швидкості V із (29.3) і (29.4), одержимо:

 

.W =

 

Отже, повна механічна енергія гармонічного осцилятора пропорційна його масі m, квадрату амплітуди і квадрату циклічної частоти .

 

Коливання, що згасають

 

Коливання залишаються гармонічними, якщо не відбувається розсіювання енергії. В реальних системах завжди діють дисипативні сили, які призводять до розсіювання енергії і згасання коливань (рис.32.1). Амплітуда коливань, що згасають, зменшується з часом і виражається формулою:

A = ,

де – коефіцієнт згасання. A – амплітуда в момент часу t, - амплітуда в початковий момент часу.

Рівняння коливань, що згасають, записують у вигляді:

,

де – циклічна частота коливань, що згасають. Період коливань, що згасають, завжди більший ніж період власних коливань. Період коливань, що згасають залежить від частоти власних коливань та коефіцієнта згасання:

T = (32.1)

Рис.32.1

Логарифм відношення двох послідовних значень амплітуд, віддалених одна від одної на час, що дорівнює одному періоду, називається логарифмічним декрементом згасання:

(32.2)

або

.

Логарифмічний декремент згасання визначають експериментально:

.

Знаючи , можна визначити коефіцієнт згасання .

Важливою характеристикою реальних коливань є добротність коливальної системи. Добротністю Q коливальної системи називається відношення енергії коливань системи в даний момент часу до втрат енергії за один період, помножене на 2 :

 

Q =2 (32.3)

,)

якщо , то формула (69.19) може бути записана у вигляді:

Q = .

Великим значенням добротності Q відповідає слабке згасання.

Коливання, що згасають, характеризуються часом релаксації . Часом релаксації називають проміжок часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів:

(32.4)

Із рівняння (32.4) знаходимо :

або

(32.5)

Як видно із формули (32.5), час релаксації прямо пропорційний періоду і обернено пропорційний логарифмічному декременту згасання.

 

 

I. 1.Звукові хвилі

Пружні хвилі частотою від 16 до 20000 Гц, сприймаються вухом людини і називаються звуковими.

Хвилі частотою називаються інфразвуками, а хвилі частота яких – ультразвуками. В рідинах і газах звукові хвилі – це поздовжні хвилі. Внаслідок поширення звуку в пружному середовищі виникають деформовані ділянки (стиснені і розтягнені) а в газах – ділянки з підвищеним і зниженим тиском порівняно з тиском незбуреного середовища. Змінна складова тиску (акустичний тиск) зумовлює сприйняття звуку, викликаючи коливання барабанної перетинки вуха. Для того, щоб людина чула звук, необхідно, щоб його інтенсивність була не меншою від деякої мінімальної величини, яку називають порогом чутності. Поріг чутності різних частот неоднаковий. Людське вухо має найбільшу чутливість до коливань, частоти яких знаходяться в діапазоні від 1 до 3 кГц. Поріг чутності на цих частотах становить . За умови значного збільшення інтенсивності звуку цих частот вухо перестає сприймати коливання як звук. Такі коливання викликають відчуття болю. Найбільшу інтенсивність звуку, за якої людське вухо сприймає коливання як звук, називають порогом больового відчуття. Для наведених частот поріг больового відчуття становить .

Звук як фізичне явище характеризується певною висотою тону, інтенсивністю і тембром. Людські органи слуху сприймають звук за чутністю, висотою (висота тону) і тембром. Поняття інтенсивності і гучності звуку не рівнозначні. Гучність зростає повільніше, ніж інтенсивність звуку. Суб’єктивна гучність не піддається точному кількісному вимірюванні. Оцінку гучності можна зробити за допомогою наближеного фізіологічного закону Вебера-Фехнера. Відповідно до цього закону, зміна гучності сприйнятого звуку пропорційна логарифму відношення енергій подразника, що викликає порівнювані відчуття до енергії порогу чутності. Отже, гучність звуку L пропорційна логарифму відношення його сили І до сили того ж звуку на порозі чутності І₀:

,

де L – гучність звуку, І₀ – стандартна для всіх частот початкова інтенсивність, яка дорівнює . Вибравши , ми виберемо одиниці вимірювання гучності:

(38.1)

В рівнянні (38.1) L виражає гучність звуку, інтенсивність (сила) якого дорівнює І. Гучність звуку вимірюється в одиницях, які називаються белами. Практично виявилось зручніше користуватись одиницями в 10 разів меншими, які називають децибелами (дБ). Наближені значення сили звуку І та гучності L подано в таблиці 6

Тембр звуку визначається його спектральним складом, а висота тону – частотою. Тембр – це відтінок (забарвлення) складного звуку, яким відрізняються один від одного звуки однакової сили і висоти. Об’єктивно тембр визначається набором частот простих коливань, які входять до складу звуку. На слух легко відрізнити звук рояля від звуку скрипки. Для проведення спектрального аналізу звуку його необхідно розкласти на окремі гармонічні складові коливання. Органи слуху людини здатні реагувати тільки на висоту тону і гучність, але не реагують на фазові зміщення у складних звуках. Внаслідок цього всі слухачі в залі одинаково сприймають мелодію та мову. Наявність у людини парного органу слуху дає можливість встановити напрям, у якому поширюються звуки від джерела, на основі так званого бінаурального ефекту.

Таблиця 6

Джерело звуку	L (дБ)	I()
Тихий шепіт (1 м) Голосна мова (1 м) Шум вулиці Оркестр Авіадвигун (5 м) Больовий поріг		10^-10 10^-5 10^-3 10^-2

 

До шумів відносять звуки, які відповідають неперіодичним коливанням, що мають неперервний спектр. Шуми спричиняють шкідливу дію на організм людини. Під дією шумів підвищується тиск крові та внутрішньочерепний тиск, відбувається послаблення слуху, знижується працездатність, постійна дія шумів може викликати нервові захворювання. Гранично допустимий рівень високочастотних шумів – 75-80 дБ, низькочастотних – 90-100 дБ. Нормально допустимим рівнем шуму вважають 40-50 дБ.

Ii. 2. Ультразвук

Хвилі частотою більшою ніж 20000 Гц називають ультразвуковими.

Особливістю ультразвукових хвиль є їх висока напрямленість і велика інтенсивність. Ультразвукові хвилі можна фокусувати за допомогою дзеркал, спеціальних лінз та концентрувати їх енергію в малих об’ємах.

В рідких середовищах ультразвук викликає перепади тисків, внаслідок чого в місцях розтягу середовища можуть виникати розриви рідини і утворюватись мікроскопічні порожнини, які під тиском десятка, а то і сотні атмосфер швидко „захлопуються”. Це явище називається кавітацією. Саме на явищі кавітації ґрунтується застосування ультразвуку для одержання емульсій та суспензій, а також явище кавітації використовується для очистки забруднених поверхонь і т.д.

Під час„захлопування” кавітаційних порожнин, молекули газу, що знаходяться в цих порожнинах, можуть іонізуватись і дисоціювати, це приводить до утворення хімічно активних радикалів, які можуть ініціювати хімічні реакції. Таким чином, дія ультразвуку може прискорювати протікання деяких хімічних процесів.

Ультразвук діє на біологічні об’єкти. За малих інтенсивностей він активізує процеси обміну, підвищує проникність клітинних мембран, проводить мікромасаж тканин. За умови великих інтенсивностей він руйнує еритроцити, викликає порушення функцій і загибель мікроорганізмів і навіть дрібних тварин (кавітаційне руйнування клітини). Руйнуючи ультразвуком оболонки тваринних та рослинних клітин, добувають з них біологічно активні речовини (ферменти, токсини і т.д.). В хірургії ультразвук використовують для руйнування злоякісних пухлин, розрізання кісток і т.д.

Багато тварин випромінюють та відчувають ультразвуки. Собаки, коти, миші відчувають ультразвуки частотою до 100 кГц. Деякі тварини (наприклад, кажани) використовують ультразвук для орієнтації в просторі (ультразвукова локація). Кажани періодично випускають короткочасні ультразвукові сигнали () в напрямі польоту. Уловлюючи відбиті від предметів сигнали, тварини визначають положення цих предметів і оцінюють віддаль до них. Такий спосіб локації використовують також дельфіни, які вільно орієнтуються в темряві та каламутній воді.

Людина використовує ультразвукову локацію для вивчення рельєфу морського дна, виявлення косяків риби, айсбергів та ін. В медицині ультразвук використовують для діагностики.

Iii. 3. Інфразвук

Інфразвуки – це низькочастотні пружні хвилі частотою меншою, ніж 16 Гц

().

Потужними джерелами інфразвуку є грозові розряди (грім), артилерійські постріли, вибухи, обвали, шторми, робота машин, міський транспорт та ін. Постійно діючі потужні інфразвуки частотою 3-10 Гц шкідливі для здоров’я людини. Вони можуть викликати погіршення зору, нервові розлади, резонансні коливання внутрішніх органів, втрату пам’яті.

 

 

Ефект Доплера

Швидкість поширення звукових хвиль у середовищах не залежить від швидкості руху джерела і приймача звуку відносно середовища і визначається лише властивостями середовища. Наприклад, швидкість поширення звуку в газах залежить від температури Т газу і його молекулярної маси :

, (39.1)

де – відношення , де – молярна теплоємність газу за сталого тиску ; – молярна теплоємність газу за сталого об’єму.

Дослід показує, що коли джерело і приймач звуку знаходяться в стані спокою відносно середовища, в якому поширюється звукові хвилі, то частота хвиль, яку генерує джерело, дорівнює частоті хвиль, яку реєструє приймач. Якщо джерело хвиль і приймач рухаються відносно середовища, в якому поширюються хвилі, то частота хвиль, які випромінює джерело не дорівнює частоті хвиль, які реєструє приймач. Зміна частоти хвиль, що сприймається приймачем, порівняно з частотоюхвиль, що випромінюється джерелом, відбувається внаслідок їх відносного руху і називається ефектом (явищем) Доплера. Розглянемо явище Доплера детальніше:

1. Нехай джерело випромінює хвилі частотою . Визначити частоту хвиль, яку реєструє приймач, якщо джерело і приймач знаходиться в стані спокою відносно середовища, у якому поширюється звукова хвиля.

Позначимо – швидкість руху приймача відносно середовища, – швидкість руху джерела хвиль відносно середовища, в якому поширюється хвиля, – швидкість поширення хвиль у даному середовищі.

Якщо хвилі безперервно йдуть повз приймач, то він сприйме стільки коливань за одну секунду, скільки хвиль пройде повз нього за одиницю часу:

(2)

Кількість коливань, які приймає прилад за 1 секунду, дорівнює кількості коливань, які випромінює джерело за одиницю часу. Таким чином, якщо приймач і джерело коливань перебувають в стані спокою, то частота коливань, яку сприймає приймач дорівнює частоті хвиль, які випромінює джерело:

. (3)

2. Приймач рухається вздовж прямої, яка сполучає джерело хвиль і приймач з швидкістю , а джерело знаходиться в стані спокою .

Нехай (приймач наближається до джерела). В цьому випадку швидкість поширення хвиль відносно джерела дорівнює сумі швидкостей: Тепер повз приймач за одиницю часу (частота сприйнятих коливань) пройде коливань:

(4)

Отже, якщо приймач наближається до джерела з швидкістю , то частота, сприйнята приймачем, в більша, ніж частота хвиль, яку випромінює джерело.

Якщо приймач віддаляється від джерела, то і формула (4) набуде вигляду:

(5)

Таким чином, якщо джерело знаходиться в стані спокою, а приймач рухається відносно джерела, то частота хвилі , сприйнята приймачем, і частота , яку випромінює джерело, пов’язані формулою:

. (6)

3. Приймач знаходиться в стані спокою, а джерело рухається вздовж прямої, що сполучає джерело і приймач відносно приймача з швидкістю и.

Розглянемо випадок, коли джерело наближається до приймача. Внаслідок того, що швидкість поширення хвилі не залежить від швидкості руху джерела, то за проміжок часу, що дорівнює періоду коливань, коливання пошириться на віддаль, що дорівнює довжині хвилі а джерело за цей час переміститься на віддалі . Довжина хвилі ,

Рис. 1 яку сприйме приймач, дорівнює різниці (рис. 1):

(7)

Частоту сприйнятих коливань знайдемо, поділивши швидкість поширення хвиль у середовищі на довжину хвилі

(8)

Якщо джерело віддаляється від нерухомого приймача, то формула (7) записується у вигляді:

(9)

4. Якщо джерело і приймач звуку, рухаючись одночасно, наближаються, або віддаляються одне від одного, то довжина хвилі і швидкість їх поширення відносно приймача звуку буде іншою, ніж довжина хвиль, розглянутих у випадках 2 і 3.

У цьому випадку частоту, яку реєструватиме приймач, можна обчислити за формулою:

(10)

Знак «плюс» у чисельнику формули (9) відповідає випадку, коли приймач наближається до джерела; знак «мінус» – коли віддаляється. У знаменнику знак «мінус» відповідає випадку наближення джерела звуку до приймача звуку, а знак «плюс» – віддалення його від джерела.

Якщо приймач або джерело звуку рухається не вздовж прямої, що їх сполучає, то ефект Доплера визначається проекціями швидкостей руху на пряму, що проходить через точки, у яких знаходиться джерело і приймач.

Ефект Доплера спостерігається і у випадку електромагнітних хвиль.

[l1]

Перемістити формулу на серединустор

[l2]вдрукувати gjpyfxtyyz

[l3]Вдрукувати позначення

[l4]Під рис

[l5]граматика

[l6]параграф поставити перед пар.39

Розділ VII Коливання і хвилі

§ 29. Гармонічні коливання. Швидкість і прискорення під час гармонічних коливань.

§ 30. Пружинний, математичний та фізичний маятники.

§ 31. Енергія гармонічних коливань.

§ 32. Коливання, що згасають.

§ 33. Вимушені коливання. Резонанс.

§34. Додавання однаково напрямлених гармонічних коливань. Поняття про гармонічний аналіз.

§ 35. Додавання взаємно перпендикулярних коливань.

§ 36. Поширення коливань в пружному середовищі. Хвилі. Фронт хвилі. Рівняння хвилі.

§37. Енергія хвильового руху. Потік енергії.

§ 38. Звукові хвилі. Ультразвук. Інфразвук.

§ 39. Ефект Доплера.Гармонічні коливання. Маятники. Енергія гармонічних коливань