Хвилі. Фронт хвилі. Рівняння хвилі

1. Коливання, що виникли в певній точці пружного середовища передаються сусіднім частинкам цього середовища внаслідок взаємодії між частинками і поширюються з деякою швидкістю . Процес поширення коливань в середовищі називають хвильовим процесом, або хвилею.

Хвилі називаються поперечними, якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямі, паралельному до напряму поширення хвилі, то хвиля називається поздовжньою. Лінія, яка вказує напрям поширення хвилі, називається променем. У пружному середовищі під час поширення повздовжніх хвиль виникають і поширюються деформації стиску і розтягу, а під час поширення поперечних хвиль виникають і поширюються деформації зсуву. На рис. 36.1 показано миттєве розташування точок середовища в поперечній (а) і поздовжній хвилях (б).

Рис.36.1 Рис.36.2

Хвильові збурення, поширюючись, охоплюють все нові і нові області середовища. Геометричне місце точок простору, до яких дійшов хвильовий процес в даний момент часу, називається фронтом хвилі. Геометричне місце точок, в яких коливання відбувається в однаковій фазі, називають хвильовою поверхнею.

Хвильових поверхонь у даній хвилі можна провести безліч, а фронт хвилі один. Фронт хвилі – це найвіддаленіша від джерела хвильова поверхня у даний момент часу. Хвильові поверхні, як і фронт хвилі, переміщаються з швидкістю поширення хвилі. Якщо хвильова поверхня має форму сфери, то хвилю називають сферичною. Якщо хвильові поверхні є площини, то хвилю називають плоскою. На рисунку 36.2 зображено хвильові поверхні сферичної (а) і плоскої (б) хвилі. Джерелом сферичних хвиль є точкові джерела коливань. На великих відстанях від точкового джерела невеликі ділянки хвильової поверхні можна вважати плоскими. Довжиною хвилі називається віддаль між двома хвильовими поверхнями, коливання в яких відбувається з різницею фаз 2 . За час, що дорівнює періоду коливань, фронт хвилі переміщається в однорідному середовищі на віддаль, що дорівнює довжині хвилі :

, або .

де T- період коливань, – частота коливань.

 

Якщо відоме положення фронту хвилі в деякий момент часу і швидкість поширення хвилі V, то положення фронту в наступний момент часу можна визначити, застосувавши принцип Гюйгенса. Згідно з цим принципом, всі точки хвильової поверхні , через які проходить фронт хвилі в момент часу , є джерелами вторинних хвиль, а положення фронту хвилі в момент часу співпадає з поверхнею, що огинає всі вторинні хвилі. Тут вважають, що всі вторинні хвилі випромінюються тільки вперед (в напрямках, які утворюють гострі кути із зовнішньою нормаллю до фронту хвилі вторинні хвилі не випромінюються (рис.36.3). В однорідному ізотропному середовищі вторинні хвилі є сферичними.

 

Користуючись принципом Гюйгенса, можна отримати закони відбивання та заломлення хвиль на межі поділу двох середовищ. Рекомендуємо читачеві зробити це самостійно. В даному параграфі подано лише отримані результати.

Закони відбивання і заломлення хвиль на межі

рис. 36.3[l4] поділу двох середовищ:

1) промінь, що падає на межу поділу двох середовищ, промінь відбитий від цієї межі, і перпендикуляр, поставлений в точку падіння до межі поділу двох середовищ, лежать в одній площині (рис.62.4);

2) кут падіння дорівнює куту відбивання ();

 

3) в ідношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величина стала для даних двох середовищ і називається відносним показником заломленн я[l5].

(36.1)

Кутом падіння (відбивання, заломлення) називають кут між перпендикуляром, поставленим в точку падіння, і променем, що падає на поверхню поділу двох середовищ (променем відбитим, заломленим променем).

Відносний показник заломлення показує, у скільки разів швидкість поширення хвиль у першому середовищі більша, ніж швидкість поширення хвиль у другому середовищі. Тому формулу (36.1) можна записати у вигляді:

=

де – швидкість поширення хвиль в першому Рис. 36.4

середовищі, – швидкість поширення хвиль у другому середовищі.

.

2. Нехай джерело хвиль, що знаходиться в точці О, є гармонічним:

(36.2)

Поширюючись в пружному середовищі, до будь-якої точки М з координатою r коливання від джерела дійдуть з запізненням на деякий проміжок часу , тому коливання в даній точці відставатимуть за фазою від коливань джерела:

 

, (36.3)

де - узагальнена координата, t- час, V- швидкість поширення фази коливань (фазова швидкість).

Рівняння (36.3) є рівнянням плоскої хвилі, воно описує коливання будь-якої точки в будь-який момент часу. Якщо згасання немає, то амплітуда вздовж променя Оr однакова в усіх точках. Амплітуда коливань сферичної хвилі зменшується із збільшенням віддалі r від джерела.

Враховуючи те, що

= = ,

рівняння (36.3) можна записати у вигляді:

),

або

). (36.4)

Під час поширення хвилі частинки речовини не переміщаються вздовж напрямку поширення хвилі, вони лише коливаються відносно положення рівноваги. Коливальний рух від частинки до частинки даного середовища передається з певною швидкістю, яка називається фазовою швидкістю. Наприклад, в поперечній хвилі синусоїда, що показує положення частинок середовища в момент часу (рис.36.5), через малий проміжок часу зміститься на віддаль (стрілками показано напрям швидкостей частинок). Отже, швидкість поширення фази коливань (наприклад, гребеня В) можна визначити, поділивши переміщення на час , за який було здійснено це переміщення:

. V = .

Рис. 36.5

Швидкість поширення хвилі залежить від пружних властивостей середовища і його густини. Швидкість поширення поперечних хвиль визначається формулою:

V = ,

де Е – модуль Юнга, – густина середовища, у якому поширюється хвиля.

Синусоїдальна хвиля, яка характеризується однією частотою, називається монохроматичною. Реальна хвиля, обмежена в часі і просторі (наприклад, хвильовий імпульс зображений на рис.36.6), не є синусоїдальною хвилею і характеризується певним набором частот. Оскільки всі хвильові процеси обмежені в просторі і часі, то строго монохроматичних хвиль в природі не існує.

Рис. 36.6

Хвиля називається плоскополяризованою, якщо коливання частинок середовища відбуваються в одній площині. Поляризованими можуть бути лише поперечні хвилі.