Додавання однаково напрямлених гармонічних коливань. Биття. Поняття про гармонічний аналіз

Одна і та ж матеріальна точка може брати участь одночасно у двох і більше коливальних рухах. Якщо коливальна система бере участь у двох або більше коливальних рухах, то внаслідок накладання цих коливань виникає складний коливальний рух. У цьому випадку зміщення точки від положення рівноваги дорівнює алгебраїчній сумі зміщень кожного коливального руху. Задача знаходження сумарного коливального руху називається додаванням коливань. Розглянемо декілька простих випадків додавання коливальних рухів.

1. Знайти рівняння руху матеріальної точки, яка бере участь у двох однаково напрямлених коливальних рухах з однакової частоти:

. (34.1)

. (34.2)

Якщо точка бере участь у двох коливальних рухах, що відбуваються вздовж однієї прямої, то її сумарний рух відбуватиметься вздовж тієї самої прямої. Будемо розв’язувати дану задачу за допомогою векторної діаграми. Виберемо полюс О через який проведемо вісь Х. З полюса О відкладемо вектори ОА₁ та ОА₂ так, щоб їх модулі дорівнювали амплітудам коливальних рухів, а кути, які вони утворюють з віссю х дорівнювали б початковим фазам і відповідно. В цьому випадку і - кути, які утворюють дані вектори з віссю ОХ в початковий момент часу t₀=0.

 

Нехай вектор і обертаються відносно точки О з кутовою швидкістю . В цьому випадку проекції точок А₁ і А₂ на вісь х здійснюватимуть коливальні рухи, що описуються рівняннями (71.1) і (71.2). Сумарне зміщення у будь-який момент часу дорівнює сумі незалежних зміщень х=х₁+х₂. Оскільки вектори і обертаються з однаковими кутовими швидкостями , то зсув фаз між ними

Рис.[l3] 34.1 з часом не змінюється і вектор = + обертається з кутовою швидкістю .

Рух, що виникає внаслідок додавання двох коливальних рухів теж буде гармонічним коливанням, і його рівняння матиме вигляд:

, (34.3)

де А – амплітуда сумарного коливального руху, – його початкова фаза.

З рисунку 34.1 видно, що

A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(). (34.4)

. (34.5)

З (34.4) видно, що амплітуда сумарного коливання залежить від різниці фаз складових коливань. Якщо (n=0,1,2...), то А=А₁+А₂. Коли , то коливання х₁ і х₂ відбуваються у протилежних фазах, а амплітуда сумарного коливання дорівнює . Повна енергія сумарного коливання:

,

де Е₁ і Е₂ – енергії складових коливань. Енергія сумарного коливання також залежить від різниці початкових фаз складових коливань.

2. Якщо коливання

, (34.5)

відбуваються з різними частотами, то вектори і обертатимуться з різними кутовими швидкостями (рис.34.1) і кут між ними буде змінюватися з часом. В цьому випадку амплітуда сумарного коливання також змінюватиметься з часом (див. 34.4) і сумарне коливання не буде гармонічним. Якщо , то використавши формули перетворення суми тригонометричних функцій у їх добуток , одержимо:

. (34.6)

Рівняння (34.6) описує періодичні коливання з середньою частотою і амплітудою, що періодично змінюється з часом:

. (71.7)

У зв’язку з тим, що період модуля косинуса дорівнює , то період зміни амплітуди

.

У випадку, коли частоти і близькі за величинами, виникає явище, що називається биттям, яке можна розглядати як періодичне коливання з пульсуючою амплітудою (рис.34.2).

Рис.34.2

Внаслідок накладання періодичних коливань з різними частотами сумарний процес також буде періодичним, якщо ці частоти відносяться, як цілі числа. На рисунку 34.3 зображено результат накладання коливань з частотами і .

3. Можлива і обернена задача: негармонічне коливання подати у вигляді суми гармонічних коливань. Згідно з теоремою Фур’є, будь-яке періодичне коливання з частотою можна розкласти на ряд гармонічних коливань з частотами (розкласти в ряд Фур’є):

(34.8)

де – стала величина, член – основне коливання (перша гармоніка), останні – вищі гармоніки. Сукупність цих гармонік утворює спектр коливання . Склад спектру залежить від вигляду періодичної функції . У найпростішому випадку спектр може складатись із невеликої кількості гармонік. Представлення періодичної функції у вигляді суми (34.8) називають гармонічним аналізом. Гармонічний аналіз застосовують для дослідження складних коливань.

Рис. 34.3

Практично можна передати особливості будь-якого складного коливального процесу, підібравши суму кінцевої кількості гармонік, тобто розклавши коливання в спектр. Коливальні спектри характеризуються не тільки набором частот, але і амплітудою складових коливань.

Складні коливання можна розкласти на прості гармонічні коливання не тільки математично, але й експериментально. За допомогою набору резонаторів визначають частоти гармонічних коливань, що входять до складу періодичного коливання. Резонатор – це коливальна система, що реагує на зовнішні гармонічні коливання, частота яких збігається з частотою власних коливань резонатора.