Кутовим прискоренням називають фізичну величину, що визначає зміну кутової швидкості в часі.

Кутове прискорення можна знайти, якщо продиференціювати за часом кутову швидкість:

[рад/с²]. (2.43)

Якщо і одного знаку, то кутова швидкість зростає (обертання прискорене).

Наведені формули визначають і як скалярні величини. Далі розглянемо узагальнення означень кутових швидкості і прискорення.

Зауважимо, що і характеризують рух усього тіла.

Лінійними далі будемо називати швидкості і прискорення точок тіла на відміну від кутових і .

Розглянемо розподіл лінійних швидкостей у тілі, що обертається навколо нерухомої осі. Скористаємося натуральним способом визначення руху точки і розглянемо рух довільної точки тіла. Якщо початкове положення точки відповідає початковому значенню кута повороту , то з
рис. 2.14 маємо:

,

де – відстань точки до нерухомої осі є радіусом обертання. Це рівняння є законом руху точки по траєкторії. Щоб знайти проекцію швидкості точки на дотичну до траєкторії, продиференціюємо за часом:

,

або

. (2.44)

Напрям вектора швидкості перпендикулярний до радіуса обертання .

Отже, лінійні швидкості залежно від радіуса обертання розподіляються за лінійним законом (рис. 2.15).

Щоб знайти розподіл лінійних прискорень, скористаємось формулами (2.34) і (2.44). Дістанемо

; ; (2.45)

; . (2.46)

Модуль повного прискорення знайдемо за формулою

; . (2.47)

Кут між вектором повного прискорення і радіусом обертання (рис. 2.16):

. (2.48)

 

Рисунок 2.15	Рисунок 2.16

 

Оскільки і не залежать від положення точки на тілі, то кут однаковий для всіх точок тіла в певний момент часу.

 

2.2.4. Вектори кутової швидкості і кутового прискорення. Формула Ейлера

 

Узагальнимо поняття про кутову швидкість тіла, що обертається навколо осі. Виберемо початок прямокутної декартової системи координат на осі обертання (рис. 2.17) і вважатимемо, що вона незмінно зв’язана з тілом і обертається разом з ним. Орт лежить на нерухомій осі , орти і , зберігаючи модуль, змінюють напрям.

Визначимо швидкість довільної точки тіла. на підставі (2.15). Радіус-вектор розкладемо по ортах системи координат:

.

Рисунок 2.17	Рисунок 2.18

Координати точки М і орт не залежать від часу; орти , є функціями часу. Отже,

. (2.49)

Визначимо похідні і .

Вектор можна розглядати як швидкість точки , що викреслює годограф вектора . Модуль цієї швидкості
згідно (2.44)

і напрямлений цей вектор по дотичній до кола радіуса , тобто перпендикулярно до осі і паралельно осі (рис. 2.18).

Згідно з цим дістанемо

.

Якщо кутова швидкість додатна, то швидкість збігається з ортом , якщо кутова швидкість від’ємна, швидкість точки напрямлена в бік, протилежний орту .

Аналогічно знайдемо

.

Згідно з (2.49) швидкість точки

. (2.50)

З курсу векторної алгебри відомі співвідношення

; ; . (2.51)

Підставивши (2.51) в (2.50), дістанемо

.

Винесемо за дужки

. (2.52)

Вектор називають вектором кутової швидкості:

. (2.53)

Згідно з (2.53),

вектор напрямлений уздовж осі обертання в той бік, звідки обертальний рух видно проти ходу годинникової стрілки. Точка прикладання на осі обертання довільна. Отже, є ковзним вектором.

Тоді (2.52) набуває вигляду

. (2.54)

Цю формулу називають формулою Ейлера. У проекціях на декартові осі координат

; ; .

Поняття вектора кутової швидкості і формули Ейлера дістали, розглядаючи найпростіший обертальний рух тіла – обертання навколо нерухомої осі. Здобуті висновки буде поширено на більш загальні випадки руху твердого тіла.

Розглянемо вектор кутового прискорення.

Кутове прискорення – це вектор, що характеризує зміну вектора кутової швидкості в часі.

Тому

. (2.55)

Очевидно, вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора кутової швидкості. У розглянутому випадку годографом вектора є пряма, що збігається з віссю обертання. Отже,

при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення напрямлений вздовж осі обертання.

Якщо обертання тіла прискорене, то напрями векторів і збігаються, якщо сповільнене – протилежні.

 

2.2.5. Рух вільного твердого тіла.

Розподіл швидкостей і прискорень точок

у вільному твердому тілі

 

Основна ознака абсолютно твердого тіла – незмінність відстаней між довільними точками такого тіла. Звідси випливає властивість збереження кута між двома довільними прямими, проведеними в абсолютно твердому тілі.

Як буде показано далі, цих властивостей досить для визначення основного закону розподілу лінійних швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі.

Розглянемо точку вільного твердого тіла довільної форми (рис. 2.19).

З тілом А незмінно зв’язана система координат . Точка нерухома. Точку О назвемо полюсом. З рис. 2.19 видно, що радіус-вектор точки М:

. (2.56)

На підставі (2.56) знайдемо швидкість точки М:

. (2.57)

 

Рисунок 2.19

Необхідно знайти похідні . Для цього скористаємося згаданими властивостями абсолютно твердого тіла. Розглянемо дві системи рівностей

; (2.58)

. (2.59)

Ці рівняння означають збереження довжин ортів і кутів між ними.

Диференціюючи рівності (2.58) за часом, дістанемо

Отримані рівності – умови ортогональності векторів відповідно та . Тому можна записати

. (2.60)

Тут – довільні вектори.

З (2.59) після диференціювання їх за часом дістанемо

. (2.61)

Підставляючи (2.60) в (2.61), маємо

,

звідки на підставі властивостей змішаного добутку векторів

,

або

. (2.62)

Вектор . У загальному випадку руху вільного твердого тіла вектор не буде перпендикулярним до орту . Отже, рівність (2.62) виконується, якщо або .

Аналогічно .

Отже,

,

а рівності (2.60) мають вигляд:

. (2.63)

Рівність (2.57), що визначає швидкість точки М на підставі (2.63), набуває вигляду

,

або

. (2.64)

У виразі (2.64) фізичний зміст вектора не визначено. Його можна визначити, розглядаючи окремі випадки руху тіла.

Наприклад, якщо вісь обертання нерухома і полюс знаходиться на цій осі, то і , де – вектор кутової швидкості, напрямлений вздовж осі.

Рівність (2.64) визначає закон розподілу швидкостей у вільному твердому тілі.