Під час руху плоскої фігури рухома центроїда котиться по нерухомій без ковзання.

Це окремий випадок більш загальної теореми Пуансо, яку розглянемо, вивчаючи обертання твердого тіла навколо нерухомої точки.

Нарешті зауважимо, що плоскопаралельний рух розглядали як окремий випадок руху вільного твердого тіла. Отже, для цього випадку також справедлива доведена теорема про проекції двох точок тіла на пряму, що проходить через ці точки.

 

План швидкостей

 

Розглянемо графічний метод визначення швидкостей різних точок плоскої фігури. Це метод побудови плану швидкостей.

Визначимо швидкості всіх точок фігури (рис. 2.31), якщо відомі вектор швидкості точки А і те, що вектор напрямлений вздовж прямої (рис. 2.31, а).

а	б
Рисунок 2.31

 

 

Скористаємося формулами (2.73) і (2.74). Насамперед визначимо швидкість точки В, траєкторія якої відома. Виберемо полюс у точці А. Тоді

.

Побудуємо цю векторну рівність. Вектор відомий цілком, а вектор спрямований вздовж , яка є дотичною в точці В до її траєкторії. Виберемо масштаб і побудуємо трикутник за відомими сторонами , паралельного і – перпендикулярною до АВ (рис. 2.31, б). Дістаємо

.

Щоб визначити швидкість довільної точки С, з’єднаємо її з точками А та В. Виберемо полюс по черзі в точках А та В.

Маємо

;

.

Швидкість точки С невідома; швидкості точок А та В повністю відомі; вектори і перпендикулярні до АС і ВС відповідно. Розв’язуємо графічно систему векторних рівнянь. На плані швидкостей через точки а і проводимо прямі, паралельні швидкостям і (відповідно перпендикулярні до прямих АС і ВС): . На перетині прямих і знаходимо точку с – кінець вектора . З’єднаємо точку С з точкою Р. Швидкість точки С побудована ().

Як видно з побудови, на плані швидкостей подібний до плоскої фігури і повернутий відносно нього на кут .

Тепер легко знайти швидкість будь-якої точки плоскої фігури. Наприклад, щоб знайти швидкість точки М, яка знаходиться на прямій АВ (рис. 2.31, б) визначимо відповідну їй
точку на плані швидкостей, з’єднаємо цю точку з полюсом Р. Відрізок – швидкість точки М.

Положення точки на плані швидкостей зручно визначати так: відрізки на плані швидкостей є швидкостями обертального руху . Відомо, що . Тому для визначення положення точки маємо співвідношення

.

Із плану швидкостей можна визначити також миттєву кутову швидкість.

.

2.2.9. Розподіл прискорень точок при

плоскопаралельному русі

 

Прискорення довільної точки тіла при плоскопаралельному русі можна знайти з виразу (2.65):

. (2.76)

Як зазначалось, вектори і перпендикулярні до площини руху фігури, тому на підставі властивостей подвійного векторного добутку перепишемо третій доданок у правій частині (2.76):

,

оскільки .

Отже,

, (2.77)

де – прискорення полюса ; – обертальне прискорення; – доцентрове прискорення (рис. 2.32).

Рисунок 2.32

 

Векторна сума обертального і доцентрового прискорення є прискоренням обертального руху точки плоскої фігури навколо полюса:

;

; (2.78)

.

Формулу (2.77) можна записати у вигляді

. (2.79)

Отже,

Прискорення довільної точки тіла при плоскопара-лельному русі дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення обертального руху точки навколо полюса.

З’ясуємо деякі властивості прискорення обертального руху плоскої фігури навколо полюса. Розглянемо кут між вектором і вектором .

Цей кут завжди гострий, бо в противному разі доцентрове прискорення було б напрямлене від полюса, що неможливо.

Величину цього кута знайдемо з формули

. (2.80)

З формули (2.80) видно, що кут не залежить від вибору полюса і є однаковим для всіх точок тіла в даний момент часу. Цей кут відліковується від до (рис. 2.33) у напрямі обертання плоскої фігури, якщо і мають один напрям, і протилежно обертанню, якщо напрями і – різні.

Нарешті, модуль вектора

. (2.81)

 

Рисунок 2.33

Миттєвий центр прискорень

 

У тих випадках, коли і одночасно не дорівнюють нулеві, можна знайти таку точку плоскої фігури, вектор прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулеві. Цю точку називають миттєвим центром прискорень. Якщо полюсом обрати миттєвий центр прискорень, то прискорення кожної точки плоскої фігури можна розглядати як прискорення обертального руху навколо миттєвого центра прискорень , тобто . Оскільки , то

.

Отже, вектор прискорення довільної точки утворює визначений за (2.80) кут з прямою, що з’єднує точку з миттєвим центром прискорень. Вираз (2.81) дає змогу знайти величину прискорення точки М

. (2.82)

Розглянемо два способи побудови миттєвого центра прискорень.

Спосіб 1. Нехай відоме прискорення точки
(рис. 2.34), а також і . За (2.80) обчислимо кут і згідно з напрямом з точки проведемо промінь , що утворює з вектором кут . На цій прямій лежить миттєвий центр прискорень. Щоб знайти його положення на промені, обчислимо за (2.82) відстань .

Рисунок 2.34

Відкладаючи від обчислений відрізок , знаходимо положення миттєвого центра прискорень.

Спосіб 2. Припустимо, що відомі прискорення і двох точок та плоскої фігури (рис. 2.35). Щоб знайти миттєвий центр прискорень , визначимо кут , який, як було зазначено, не залежить від вибору полюса. Візьмемо точку за полюс. На підставі (2.79)

.

Рисунок 2.35

Побудувавши (рис. 2.35), визначимо кут між і вектором . Проведемо з точок та промені і , що утворюють кут з векторами і . Точка перетину цих променів – миттєвий центр прискорень.

Знаючи положення миттєвого центра прискорень та прискорення однієї точки плоскої фігури, можна побудувати напрями і знайти величини прискорень довільних її точок. Наприклад, прискорення точки знаходимо, з’єднавши точку з точкою і відкладаючи від цього відрізка кут у напрямі, протилежному до напряму найкоротшого переходу від до . Скориставшись виразом (2.82), обчислимо модуль вектора .

Зауважимо, що вираз (2.82) дає змогу встановити зв’язок між прискореннями точок плоскої фігури:

.

Отже, побудова миттєвого центра прискорень дозволяє повністю вирішити питання про розподіл прискорень точок при плоскопаралельному русі твердого тіла.

 

Приклади

 

Приклад 2.5. Розглянемо приклад застосування викладених вище способів визначення розподілу швидкостей у плоскій фігурі.

Механізм, зображений на рис. 2.36, складається з кривошипа , який обертається навколо осі з кутовою швидкістю рад/с. Зубчасте колесо радіусом 20 см котиться без ковзання по поверхні нерухомого колеса радіусом см і приводить до руху з’єднаний з ним шарнірно шатун см. Повзун С рухається вздовж вертикалі. Визначити кутову швидкість шатуна і швидкості точок і в момент, коли радіус перпендикулярний до кривошипа .

Рисунок 2.36

Розв’язання. Кутову швидкість шатуна, що здійснює плоскопаралельний рух, можна знайти, якщо відомі швидкості його точок. Точка спільна для шатуна і рухомого колеса. Тому необхідно розглянути спочатку розподіл швидкостей у рухомому колесі. Точка зчеплення рухомого і нерухомого коліс є миттєвим центром швидкостей рухомого колеса. Отже,

.

Швидкість точки легко знайти, розглядаючи обертальний рух кривошипа

см/с.

Таким чином,

см/с.

Цей самий результат можна дістати, якщо скористатися теоремою про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що з’єднує ці точки.

Маємо

, або .

Для визначення швидкості точки і кутової швидкості шатуна побудуємо миттєвий центр швидкостей шатуна . Він знаходиться в точці перетину прямих і , перпендикулярних до векторів швидкостей точок і . На підставі (2.75)

.

Звідси

.

Елементарні геометричні розрахунки дають змогу визначити см, см. Тоді

см/с;

рад/с.

Приклад 2.6. Розглянемо застосування теореми про розподіл прискорень у тілі при плоскопаралельному русі.

У механізмі, зображеному на рис. 2.37, кривошип обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої осі і приводить до руху колесо ІІ, що котиться без ковзання по поверхні колеса І. Радіуси коліс однакові. Знайти прискорення точки колеса ІІ.

Рисунок 2.37

Розв’язання. Згідно з (2.79) прискорення довільної точки плоскої фігури складається з прискорення полюса і прискорення обертального руху точки навколо полюса. Полюс слід вибирати в точці, прискорення якої відоме, або його легко визначити з умови задачі. Такою точкою є точка А, швидкість якої . Прискорення точки А дорівнює тільки нормальному прискоренню і напрямлене від точки до центра О кривошипа

.

Щоб знайти прискорення , згадаємо, що

,

де ; .

Тут і – миттєва кутова швидкість і миттєве кутове прискорення колеса ІІ, які треба визначити.

З умови кочення без ковзання випливає, що швидкість точки колеса ІІ дорівнює нулеві, оскільки вона збігається з миттєвим центром швидкостей колеса ІІ.

Тоді миттєва кутова швидкість

і миттєве кутове прискорення

.

Отже, .

Таким чином, прискорення точки складається з двох векторів і , напрямлених уздовж спільної прямої в одну сторону. Додаючи їх, маємо

.

Вектор напрямлений уздовж прямої від точки до точки .

 

 

2.2.11. Додавання обертальних рухів тіла навколо осей,
що перетинаються

Розглянемо додавання двох миттєвих обертальних рухів твердого тіла навколо осей, що перетинаються.

Припустимо, що тіло обертається навколо осі з миттєвою кутовою швидкістю , а разом з віссю обертається навколо осі з миттєвою кутовою швидкістю (рис. 2.41). Також припускаємо, що дві вказані осі перетинаються в точці .

Доведемо лему про додавання кутових швидкостей.

В результаті додавання двох миттєвих обертальних рухів тіла навколо осей, що перетинаються, результуючим є абсолютний миттєвий обертальний рух навколо осі, яка проходить через точку перетину осей складових обертань.