Швидкістю точки називають фізичну величину, що характеризує зміну положення точки в просторі, що визначається радіусом-вектором, зі зміною часу.

При векторному способі визначення руху точки закон її руху має вигляд

.

Траєкторія точки – годограф функції .

На основі визначення поняття швидкості і фізичного змісту похідної векторної функції скалярного аргумента робимо висновок, що

швидкість точки є вектор, який дорівнює похідній за часом від радіуса-вектора:

. (2.15)

Тут і далі диференціювання за часом позначено крапкою.

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до годографа вектора , тобто по дотичній до траєкторії точки в той бік, що відповідає зростанню часу (рис. 2.6).

Рівність (2.15) визначає вектор швидкості точки векторним способом математичного опису її руху.

Розглянемо визначення швидкості координатним способом. З рівностей (2.7) і (2.15) маємо

.

Розкладаючи вектор по ортах ортогональної системи декартових координат

і порівнюючи вирази, маємо

. (2.16)

За відомими проекціями вектора швидкості на координатні осі, легко знайти модуль вектора швидкості і його напрямні косинуси:

; (2.17)

. (2.18)

Рівності (2.16)-(2.18) визначають вектор швидкості точки координатним способом математичного опису її руху.

Знайдемо швидкість, припускаючи, що рух точки задано натуральним способом. Розглядаючи радіус-вектор точки як складну функцію часу, згідно рівностей (2.8), (2.10) і (2.15) дістанемо

.

З’ясуємо зміст кожного співмножника останньої рівності.

Розглянемо вектор

. (2.19)

На підставі змісту підрозділу 2.1.3 твердимо, що цей вектор напрямлений по дотичній до траєкторії у бік додатних дугових координат. Справді, якщо , то вектор напрямлений у бік додатних дугових координат (рис. 2.7). У цей самий бік напрямлений і вектор . Зі зміною знака змінюється і знак . Отже, напрям залишається попереднім. Модуль вектора дорівнює одиниці:

,

оскільки є довжиною хорди (рис. 2.7).

 

Рисунок 2.7

Отже, — орт дотичної до траєкторії.

На підставі викладеного дістанемо

. (2.20)

Щоб визначити , домножимо рівність (2.20) скалярно на вектор :

. (2.21)

Отже, є проекцією швидкості на дотичну до траєкторії. Таким чином,

. (2.22)

Рівності (2.20)-(2.22) визначають вектор швидкості точки натуральним способом математичного опису її руху.

 

 

Прискорення руху точки

Прискорення – це фізична величина, що характеризує зміну вектора швидкості руху точки за часом.

На підставі цього означення і змісту підрозділу 2.1.3 можна визначити величину і напрям прискорення точки:

. (2.23)

Вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора швидкості .

Знайдемо прискорення точки трьома способами опису її руху.

Якщо рух точки задано векторним рівнянням

,

то швидкість , і на підставі (2.23) прискорення

. (2.24)

Для визначення прискорення точки координатним способом скористаємося рівностями (2.7) і (2.24):

.

Розкладаючи вектор прискорення по ортах декартової системи координат

і порівнюючи вирази, маємо

. (2.25)

Модуль вектора і його напрямні косинуси знаходимо за відомими формулами аналітичної геометрії:

; (2.26)

.(2.27)

Формули (2.25)-(2.27) визначають вектор прискорення координатним способом.

Знайдемо прискорення точки, користуючись натуральним способом. Із (2.22) і (2.23) дістанемо

. (2.28)

Зауважимо, що орт змінює свій напрям зі зміною дугової координати , тобто його можна розглядати як складну функцію часу . Отже,

. (2.29)

Розглянемо похідну від за :

.

Знайдемо напрям вектора і його модуль.

Вектор напрямлений, як відомо, по дотичній до годографа вектора . Оскільки – одиничний вектор, його годографом є крива, розміщена на поверхні сфери одиничного радіуса. Тому вектор утворює з вектором прямий кут (рис. 2.8). З’ясуємо, вздовж якої нормалі напрямлений вектор . Для цього розглянемо граничний напрям вектора . Щоб його побудувати, проведемо одиничні вектори і в сусідніх точках М і , де . Побудуємо в точці М вектор , що дорівнює . Тоді .

Якщо , точка , то площина трикутника , обертаючись навколо вектора , наближається до певного граничного положення. Це граничне положення площини трикутника знаходиться в стичній площині кривої в точці М. Отже, нормаль, вздовж якої напрямлений вектор , лежить в стичній площині. Цю нормаль називають головною нормаллю кривої.

Зауважимо, що всі точки будь-якої плоскої кривої лежать у стичній площині.

З рис. 2.8 видно, що вектор напрямлений у бік угнутості кривої, тобто в бік її центра кривини.

 

Рисунок 2.8

Визначимо модуль вектора

.

З трикутника MNK (рис. 2.8) знаходимо , оскільки

,

тому

.

Оскільки

,

де – радіус кривини кривої, то

. (2.30)

Позначимо орт головної нормалі через і напрямимо його в бік угнутості кривої. Тоді

. (2.31)

Побудуємо місцевий координатний базис – натуральний тріедр (рис. 2.9). Орти дотичної і головної нормалі створюють стичну площину кривої. Проведемо нормаль до цієї площини. Цю нормаль називають бінормаллю, її орт . У площині () розміщені всі нормалі до кривої, тому орти () утворюють нормальну площину кривої. Орти () утворюють спрямну площину кривої.

Повернемось до визначення прискорення точки. На підставі (2.29) і (2.31) вираз (2.28) набуває вигляду

. (2.32)

Зауважимо, що , де – модуль швидкості.

Розкладемо вектор по ортах натурального тріедра:

(2.33)

і порівняємо отриманий вираз із формулою (2.32):

. (2.34)

Як видно з (2.33), (2.34), проекція вектора прискорення на бінормаль дорівнює нулеві.

Отже, вектор прискорення точки лежить завжди у стичній площині траєкторії точки. Проекцію називають дотичним, або тангенціальним прискоренням, проекцію – доцентровим або нормальним прискоренням.

Повне прискорення точки є векторною сумою дотичного і нормального прискорень (рис. 2.10).

.

Рисунок 2.9	Рисунок 2.10

Модуль прискорення і його напрям:

. (2.35)

Отже, формули (2.33), (2.34), (2.35) визначають вектор прискорення натуральним способом.

 

Приклади

Приклад 2.1. Рівнозмінний рух точки.

Рух точки називають рівнозмінним, якщо її дотичне прискорення стале ().

Знайдемо швидкість точки і закон її руху по траєкторії.

На підставі (2.34)

,

звідки .

За формулою (2.21)

,

звідки після інтегрування маємо

,

де і – сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов.

У даному випадку початковими умовами є початкова швидкість і початкова дугова координата. Нехай

.

Дістанемо:

; (2.36)

. (2.37)

Приклад 2.2. Рух точки відбувається згідно з рівняннями

( – в метрах, – в секундах).

Визначити:

— швидкість точки;

— закон руху точки по траєкторії;

— годограф швидкості;

— прискорення точки;

— радіус кривини траєкторії точки.

Розв’язання.

Виберемо систему координат, як показано на рис. 2.11. – початкове положення точки на траєкторії.

Складові швидкості точки дорівнюють:

.

Модуль швидкості

.

 

Рисунок 2.11

Траєкторією точки є гвинтова лінія. Напрям швидкості, тобто напрям дотичної до гвинтової лінії (рис. 2.11), визначаємо за формулами

.

Годограф швидкості знаходимо на підставі формул

.

Звідси – рівняння годографа швидкості (рис. 2.12).

Отже, годографом швидкості є коло радіуса з центром в точці на осі .

Знайдемо закон руху точки по траєкторії :

 

Рисунок 2.12

.

При , тобто .

.

Для визначення проекцій, модуля та напряму прискорення скористаємося формулами (2.25)-(2.27). Маємо:

;

.

Вектор прискорення лежить в горизонтальній площині і спрямований від точки М до осі (рис. 2.11).

Радіус кривини точки знаходимо на підставі (2.34). Нормальне прискорення визначаємо через повне і тангенціальне за формулами (2.34) і (2.35):

.

Оскільки а , то . Знаходимо

.