Тригонометричні функції подвійного аргументу

Синус подвійного аргументу:

 

Косинус подвійного аргументу:

 

Наслідки:

1)

2)

Тангенс подвійного аргументу:

 

13. Формули зведення

 

Формулами зведення називають формули, що виражають тригонометричні функції від аргументів ( ) через функції від аргументу a.

Правила написання формул зведення:

1)

а) для аргументів назва функції вихідної не змінюється

б) для аргументів назву вихідної функції змінюється на ко-функцію

2) перед отриманою функцією стоїть той знак, який має вихідна функція.

Приклад:

1)

2)

3)

4)

 

 

14. Найпростіші тригонометричні рівняння. Розв’язання рівняння та окремі випадки.

15. Найпростіші тригонометричні рівняння. Розв’язання рівняння та окремі випадки.

16. Найпростіші тригонометричні рівняння. Розв’язання рівняння та окремі випадки.

Поняття похідної, її геометричний та фізичний зміст

Фізичний зміст похідної.

Сприймання і усвідомлення поняття дотичної до кривої.

Для введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію y=f(x) і її графік криву лінію. Нехай точки А і М належать графіку функції y=f(x), проведемо січну АМ.

Зафіксуємо точку А. Нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. При цьому січна АМ буде повертатись навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

Означення: Дотичною АТ до графіка функції y=f(x) в точці А називається граничне положення січної АМ, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А

Дотична –це пряма, а положення прямої , яка проходить через точку A(x ;y ) визначається кутовим коефіцієнтом прямої , де - кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ.

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число к.

Нехай в точці А(x ;y ) кривої y=f(x) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу x приросту одержимо нове значення аргументу

2) Знайдемо відповідний приріст функції:

3) Складемо відношення

Із трикутника АМК маємо: . Так як - куту нахилу січної АМ з додатним напрямом осі ОХ, то .

4) Якщо , то і точка М буде переміщуватись по кривій, наближуючись до точки А. При цьому січна АМ буде повертатись навколо точки А, а величина кута буде змінюватись зі зміною . Граничним положенням січної АМ при буде дотична АТ, яка утворює з додатнім напрямом осі Ох деякий кут, величину якого позначимо через .

Отже, - кутовий коефіцієнт дотичної.

Знаходження кута нахилу дотичної до графіка функції y=f(x) в точці А до додатного напрямку осі ОХ дає змогу з’ясувати геометричний зміст похідної: Значення похідної функції y=f(x) в точці x дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою і кутовому коефіцієнту дотичної.

Рівняння дотичної:

 

Поняття похідної. Правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій

Правила диференціювання.

1) Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і (f(x)+g(x))'=f '(x)+g'(x) або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Доведення:

Розглянемо функцію у = f(x) + g(x). Зафіксуємо х і надамо аргументу приросту х. Тоді

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних. Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді

f(x) = y(x) + g(x) і f'(x) = у`(х) + g'(x), звідси у`(х) = f '(x) - g'(x).

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто

Приклад. Знайдіть похідні функцій

2) Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і (f(x) • g(x))' = f ' (x) • g(x) + f(x) • g'(x),

або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.

Доведення:

Розглянемо функцію у = f(x)g(x). Зафіксуємо х і надамо аргументу приросту х, тоді

 

Наслідки |

а) Постійний множник можна винести за знак похідної:

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

 

 

3) Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і

Доведення:

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай у(х)= , тоді f(x) = у(х) • g(x). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, f'(x) = у'(х) • g(x) + у(х) • g'(x). Виразимо з цією формули у'(х):

 

 

 

Похідна елементарних функції: