Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неперервність функції в точці.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Розглянемо графіки декількох функцій.
Рис. 40.
Яка ознака поєднує графіки, зображені на рис. 40 (б,в,г), на відміну від графіка, зображеного на рис. 40(а)? Ми можемо сказати, що графік на рис. 40(а) є суцільною лінією, в той час, як графіки на рис. 40 (б,в,г) суцільними лініями не є. Іншими словами, графік на рис. 40(а) можна провести, не видриваючи олівця від паперу, а з графіками рис. 40(б,в,г) це зробити неможливо. Якщо розглянути точку на цих графіках, то помітимо, що функція визначена у цій точці, і, якщо змінити значення на малу величину, то значення функції теж зміниться на малу величину. З іншими функціями на рис. 33 така ситуація не спостерігається. Функція змінюється стрибковидно при переході через точку . Значення функції прямують до нескінченності при . А функція не визначена у точці , хоча має у цій точці скінченні однобічні границі. Такі властивості функцій відображають відповідні властивості процесів, які цими функціями описуються. Розглянемо приклади. 1. Залежність атмосферного тиску від висоти над рівнем моря задається барометричною формулою: , де – додатні сталі. Графік цієї функції має вигляд
Рис. 41.
Бачимо, що це суцільна лінія, тобто графік типу 40(а). 2. Відомо, що залежність електричного опору металів від температури має приблизно лінійний характер, коли вище деякої критичної точки (своєї для кожного металу). Якщо , то опір різко падає майже до нуля. Це явище називається надпровідністю. Спостерігається воно при дуже низьких температурах, близьких до абсолютного нуля. Наприклад для алюмінія ця температура дорівнює градуса за шкалою Кельвіна. Близьке до нього явище надтікучесті, коли деякі рідини при досягненні певної критичної температури (теж дуже низької; наприклад, для рідкого гелія вона складає 2,19 градусів за шкалою Кельвіна) майже повністю втрачають в’язкість. Схематична залежність електричного опору металів від температури показана на рис. 42.
Рис. 42.
3. Залежність густини ідеального газу від температури виражається формулою: , де – стала. Графік такої залежності має вигляд:
Рис. 43.
Тобто маємо графік типу 40(в). Існують також процеси типу 40(г). Все це свідчить про те, що ми повинні вміти встановлювати подібні властивості функцій і не лише у тих випадках, коли є графічні їх зображення, а й тоді, коли функції задаються аналітичним способом. Але це можливо тільки тоді, коли ми маємо чіткі математичні означення всіх цих ситуацій. Отже саме до них ми тепер і переходимо. Означення. Функція називається неперервною у точці , якщо виконано наступні умови: 1) функція визначена в деякому околі точки , 2) існує , 3) . Якщо використати означення границі функції у точці на мові «», то можна означення неперервності функції у точці сформулювати так: Функція називається неперервною у точці , якщо вона визначена у точці , і . Зверніть увагу: у означенні границі функції у точці суттєвою особливістю, як ми відмічали, була умова, що , або . Тобто функція могла бути невизначеною в точці . І навіть у тому випадку, коли вона визначена у цій точці, границя функції, як ми знаємо, зовсім не обов’язково дорівнює значенню . У випадку неперервності ці особливості зникають. Функція визначена у точці , і границя функції при дорівнює значенню функції в точці . Враховуючи, що , можна третю умову неперервності записати так: . Тобто знаки границі і неперервної функції можна змінювати місцями. Можна дати інше означення неперервності функції у точці. Позначимо як різницю і назвемо цю величину приростом аргументу у точці . Якщо , то і навпаки. Різниця відповідних значень функції називається приростом функції у точці і позначається (рис. 44).
Рис. 44.
Тепер, оскільки , то . Таким чином, функція називається неперервною у точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції. Геометрично факт неперервності функції у точці означає, що в околі точці графік функції є суцільною лінією. Приклади. 1. Довести, що функція неперервна у будь якій точці числової прямої. Візьмемо довільне і надамо нескінченно малий приріст . Тоді функція отримає приріст: . Величина – нескінченно мала при як добуток обмеженої функції на нескінченно малу , а – нескінченно мала як добуток двох нескінченно малих. Отже – нескінченно мала як сума двох нескінченно малих, а це й означає неперервність функції у точці . 2. Довести, що функція неперервна у точці . Функція визначена на , і виконано нерівність , оскільки при . Отже , тобто функція неперервна в точці . 3. Довести, що функція не є неперервною у точці . Надамо значенню аргументу нескінченно малий додатний приріст . Тоді функція отримає приріст: , а ця величина не є нескінченно малою при . Отже наша функція не є неперервною у точці . Функції, неперервні в точці, мають деякі прості властивості, які являються наслідками відповідних властивостей границь функцій (див. п. 20). Властивість 1. Якщо функція неперервна в точці , то ця функція обмежена в деякому околі точки . Властивість 2. Якщо функція неперервна в точці , причому , то існує окіл точки , у якому знак функції співпадає зі знаком . Властивість 3. Якщо функції , неперервні в точці , то функції , також неперервні в точці . Якщо , то функція також неперервна в точці . Властивість 4 (неперервність складеної функції). Нехай функція неперервна в точці , причому , а функція неперервна в точці , то складена функція неперервна в точці . Доведення. Надамо значенню приріст . Тоді функція отримає приріст . Функція у свою чергу отримає приріст . Оскільки функція неперервна в точці , то . А оскільки функція неперервна в точці , то . Отже , тобто функція неперервна в точці . За аналогією з однобічними границями функції вводиться поняття однобічної неперервності функції в точці. Означення. Функція називається неперервною зліва в точці , якщо таке, що функція визначена на півінтервалі , та існує . Функція називається неперервною справа в точці , якщо таке, що функція визначена на півінтервалі , та існує .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-14; просмотров: 548; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.221.124 (0.006 с.) |