Властивості функцій, неперервних на відрізку.

 

Означення. Функція називається неперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці множини .

Зокрема, функція називається неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу . Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна на інтервалі , і, крім того, неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці .

З’ясовується, що властивості функцій, неперервних на відрізку, суттєво відрізняються від властивостей функцій, неперервних тільки на інтервалі або півінтервалі.

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на відрізку .

Доведення. Припустимо протилежне, тобто припустимо, що . Зокрема, якщо , то . Якщо , то . І взагалі .

Послідовність обмежена, оскільки всі її елементи належать відрізку . За лемою Больцано–Вейєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність : , і . Але тоді (наслідок 3 з теореми 4, п. 10). Оскільки функція неперервна на відрізку , отже і в точці , то

. (23.1)

Але . Оскільки , то , що суперечить (23.1).

Теорему доведено.

З геометричної точки зору ця теорема означає, що графік неперервної на відрізку функції цілком міститься всередині деякого прямокутника (рис. 45).

 

 

Рис. 45.

 

Зауваження. Твердження теореми втрачає силу, якщо відрізок замінити інтервалом або півінтервалом. Наприклад, функція неперервна на інтервалі , але не є на ньому обмеженою.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку своїх точних верхньої та нижньої граней.

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на відрізку , отже функція має на цьому відрізку точні верхню та нижню грань. Позначимо: . Припустимо всупереч твердженню теореми, що . Розглянемо функцію:

.

Оскільки , то функція неперервна на відрізку , отже функція обмежена на відрізку , тобто таке, що . Отже

,

звідки випливає, що

.

А це означає, що . Таким чином ми довели, що , тобто функція досягає на відрізку своєї верхньої грані. Аналогічно доводиться, що функція досягає на відрізку своєї нижньої грані.

Теорема доведено.

Зауваження. Твердження і цієї теореми втрачає силу, якщо відрізок замінити інтервалом, або півінтервалом. Наприклад, функція неперервна на інтервалі , але не досягає на цьому інтервалі своєї точної нижньої грані, яка дорівнює нулю, і своєї точної верхньої грані, яка дорівнює 1.

Перша теорема Больцано–Коші (про корінь). Нехай функція неперервна на відрізку , і на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, тобто . Тоді .

Доведення. Поділимо відрізок навпіл. Позначимо:

.

Якщо , то теорему доведено. Якщо , то з двох відрізків та оберемо той, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків. Позначимо його як . Його довжина:

.

Тепер відрізок також поділимо навпіл. Позначимо:

.

Якщо , то теорему доведено. Якщо , то з двох відрізків та обираємо той, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків. Позначимо його як . Його довжина:

.

Продовжуючи цей процес, ми отримаємо, що або на деякому кроці знайдеться точка така, що , або вийде послідовність вкладених відрізків , причому , і

.

Таким чином ця послідовність відрізків є стяжною. За теоремою Кантора (див. п. 12) існує така точка , яка належить всім цим відрізкам. Покажемо, що . Дійсно, нехай, наприклад . Тоді, оскільки функція неперервна, то таке, що виконано . З іншого боку, оскільки

, то для цього знайдеться такий номер , що . В той же час , що суперечить тому, що . Отже залишається тільки можливість, коли .

Теорему доведено.

Геометричну ілюстрацію теореми наведено на рис. 46. Графік неперервної на відрізку функції, яка на його кінцях приймає значення різних знаків, перетинає вісь хоча б в одній точці цього відрізку.

 

 

Рис. 46.

 

Точка називається коренем рівняння . Сформульована теорема тільки стверджує існування кореня, але не вказує, як його знайти. тем не менш, використовуючи цю теорему, можна знайти корінь наближено.

Розглянемо приклад.

Довести, що на відрізку рівняння має корінь, і знайти цей корінь з точністю 0,1.

Нехай . Ця функція неперервна на всій числовій прямій, отже і на відрізку . Оскільки , то за першою теоремою Больцано–Коші на відрізку дане рівняння має корінь. Поділимо точкою відрізок навпіл і з двох отриманих відрізків і оберемо той, на кінцях якого функція набуває значень різних знаків. Оскільки , то це відрізок . Отже знову за тою ж теоремою на ньому є корінь нашого рівняння. Далі точкою ділимо цей відрізок навпіл і знову з двох отриманих відрізків і обираємо той, на кінцях якого функція набуває значень різних знаків. Оскільки , то це відрізок . Продовжуючи цей процес, далі знаходимо: ; . Обираємо далі відрізок . Довжина цього відрізку 0,875-0,75=0,125. Отже, якщо у якості наближеного значення кореня взяти точку , яка ділить відрізок навпіл, то отримаємо: , тобто необхідну точність досягнено. Отже . Значення функції у цій точці: .

Продовжуючи цей процес, можна знайти корінь з будь якою наперед заданою точністю. Але навіть з цього прикладу можна помітити, що для досягнення точності 0,1 ми змушені зробити 4 кроки. А більшість прикладних задач вимагає значно вищої точності. Припустимо, що нам треба знайти корінь з деякою точністю . Тоді неважко переконатися, що кількість кроків , яка необхідна для досягнення цієї точності, повинна задовольнять нерівність:

, тобто . Наприклад, для досягнення точності треба зробити 10 кроків. Тому на практиці частіше використовують інші, більш потужні методи знаходження коренів рівнянь, наприклад, так званий метод Ньютона.

Друга теорема Больцано–Коші (про проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізку , причому , , і . Тоді для будь якого значення , яке лежить між і , знайдеться таке, що .

Доведення. Припустимо для визначеності, що . Введемо допоміжну функцію . Ця функція неперервна на відрізку як різниця двох неперервних функцій. Крім того, , , тобто на кінцях відрізку функція приймає значення різних знаків. Тоді згідно з попередньою теоремою знайдеться таке, що , тобто .

Теорему доведено.

Ця теорема стверджує, що неперервна на відрізку функція при переході від одного значення до іншого набуває всіх проміжних між ними значень.

Геометричну ілюстрацію теореми наведено на рис. 47.

 

 

 

Рис. 47.

 

Теорема (про неперервність оберненої функції). Якщо функція неперервна та зростаюча на відрізку , причому , , то на відрізку визначено функцію , яка є оберненою до функції , і яка неперервна та зростаюча на відрізку .

Доведення. Оскільки функція зростаюча, то виконано: , причому , . Таким чином множиною значень на відрізку функції є відрізок .

Згідно означенню оберненої функції (див. п. 16), треба довести, що для кожного існує єдине значення таке, що . Існування значення випливає з теореми про проміжне значення. Доведемо, що таке значення єдине. Припустимо, що існує ще одне значення таке, що , причому . Якщо , то внаслідок зростання функції на відрізку має бути , що неможливо, оскільки . Аналогічно виключається можливість , тобто може бути тільки . Таким чином існування оберненої функції доведено. Покажемо, що ця функція зростаюча на відрізку . Розглянемо два значення , такі, що . Треба показати, що . Припустимо, що це не так, тобто . Позначимо: , . Тоді , причому . Оскільки функція зростаюча на відрізку , то звідси , тобто , що суперечить тому, що . Таким чином функція зростаюча на відрізку . Залишилося довести, що ця функція неперервна на відрізку . Нехай – довільна точка інтервалу . Покажемо, що функція неперервна в точці . Для цього достатньо показати справедливість рівностей:

. (23.1)

За теоремою про границю монотонної функції (див. п. 21) існують границі , , і виконується подвійна нерівність:

. (23.2)

Нехай хоча б одна з рівностей (23.1) не виконується, наприклад . Тоді

. (23.3)

Оскільки виконано , причому , і виконано , то з (23.3) випливає, що інтервал не належить множині значень функції . Це суперечить тому, що всі точки відрізку , в тому числі і точки інтервалу належать множині . Аналогічно доводиться справедливість другої з рівностей (23.1), тобто .

Тим же способом встановлюється, що функція неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці .

Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо функція спадна на відрізку , то функція спадна на відрізку .

Зауваження 2. Аналогічним чином формулюються та доводяться теореми про обернену функцію, коли функція задана на інтервалі або півінтервалі.

Якщо функція визначена, зростаюча та неперервна на інтервалі , то обернена функція визначена, зростаюча та неперервна на інтервалі , де , .