Числова вісь, проміжки на ній. Модуль дійсного числа.

 

У математиці виключно важливу роль відіграють числові множини, тобто такі, елементами яких є числа. Розглянемо найбільш важливі з них.

Множина натуральних чисел . Це числа, які ми використовуємо при рахуванні предметів. Множина нескінченна, тобто . Сума і добуток двох натуральних чисел також число натуральне. А ось різниця двох натуральних чисел не завжди є числом натуральним, наприклад .

 

2. Множина цілих чисел . На множині вже можна здійснювати і операцію віднімання, тобто .

Цілі числа мають низку дуже цікавих властивостей. Дослідженню цих властивостей присвячено такий розділ математики, як теорія чисел. Видатний німецький математик К.Ф. Гаус вважав теорію чисел царицею математики.

Частка від ділення двох цілих чисел не завжди є цілим числом, наприклад .

3. Множина раціональних чисел .

Раціональним ми називаємо число, яке можна зобразити у вигляді частки двох цілих чисел:

, де .

Сума, добуток, різниця і частка двох раціональних чисел є також число раціональне.

Між будь якими двома раціональними числами завжди знайдеться принаймні ще одне (а отже нескінченна кількість) раціональних чисел. Дійсно, якщо , то число і задовольняє нерівність: .

Довгий час математики вважали, що раціональні числа вичерпують собою всі можливі числа. Деякі підстави у них для цього були: за допомогою раціональних чисел розв’язувалися практично всі задачі того часу. Представники філософської школи Піфагора вважали, що саме раціональне число лежить в основі світу. На підставі властивостей раціональних чисел ними, зокрема, була побудована теорія гармонії. Але потім виявилось, що існують задачі, розв’язання яких потребує виходу за межі множини раціональних чисел. Розглянемо таку задачу: знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, обидва катети якого дорівнюють 1. Згідно з теоремою того ж Піфагора, легко знаходимо, що , отже у сучасному запису . Чи є це число раціональним? Припустимо, що це так, тоді (не обмежуючи загальності, ці числа можна вважати натуральними, а не просто цілими, оскільки ) такі, що

.

Ми можемо також вважати, що дріб – нескоротний, оскільки, якщо це не так, то ми його скоротимо настільки, наскільки це можливо, і зробимо з нього нескоротний.

Оскільки , то , а це означає, що – число парне. Тоді і – парне. Дійсно, якщо це не так, то , і тоді – непарне, що суперечить встановленому. Отже , і тоді , звідки , тобто – парне, а тоді, аналогічно попередньому, і – число парне. А якщо – парні, то дріб – скоротний, що суперечить припущенню.

Таким чином ми довели, що число не є раціональним. Такі числа називаються ірраціональними. До них відносяться, зокрема, також (доведіть самостійно), , славнозвісне число та інші.

3. Множина дійсних чисел .

Об’єднання множин раціональних та ірраціональних чисел складає

множину дійсних чисел. На цій множині визначено операції додавання, віднімання, множення, ділення (крім ділення на нуль), і результат цих операцій теж число дійсне. Не можна на множині добувати корінь парного степеня з від’ємного числа (ця операція виводить за межі множини дійсних чисел і приводить до так званих комплексних чисел).

Будь яке раціональне число можна зобразити у вигляді скінченного, або нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад:

.

Ірраціональне число зображується нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

, .

У загальному випадку кожне дійсне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу (періодичного або неперіодичного):

.

Якщо ми обірвемо цей дріб на -му знаку після коми, отримаємо раціональне число:

.

Припустимо, що . Тоді

.

Очевидна подвійна нерівність:

, тобто

.

Таким чином кожне дійсне число міститься між двома раціональними числами, різниця між якими дорівнює .

Нехай – довільне раціональне число. Тоді

.

Звідси випливає наступне твердження:

, причому .

Іншими словами, будь яке дійсне число можна з будь якою степеню точності наблизити раціональним числом.

Дійсні числа мають зручну геометричну інтерпретацію. Введемо наступне поняття.

Числовою віссю називається пряма лінія, на якій обрано напрям, який умовно вважається додатним, початок відліку (точка 0) і одиниця ділення (рис. 5).

 

 

 

Рис. 5.

 

 

Тоді будь якому дійсному числу відповідає одна і тільки одна точка числової осі, і навпаки, кожній точці числової осі відповідає одне і тільки одне дійсне число (рис. 6).

 

 

Рис. 6.

 

 

Таким чином між множиною дійсних чисел і множиною точок числової осі встановлено взаємно однозначну відповідність. Тому ми часто замість терміну “дійсне число ” будемо вживати термін “точка ”.

Нехай і – дійсні числа, причому .

Відрізком (сегментом) числової осі називається множина точок осі, що задовольняє нерівність .

Інтервалом числової осі називається множина точок осі, що задовольняє нерівність .

Півсегментом (півінтервалом) чи числової осі називається множина точок осі, що задовольняє нерівність чи .

Суттєвою відмінністю відрізка від інтервалу є те, що точки відрізку належать, а інтервалу не належать. В півінтервалі одна з цих точок йому належить, а інша ні.

Інтервали та півінтервали, зокрема, можуть бути і нескінченними: .

Нехай – довільне дійсне число. Околом точки називається будь який інтервал , який містить точку , тобто .

Наприклад, інтервали є околами точки . Зауважимо, що точка , взагалі кажучи, не зобов’язана бути центром інтервалу (рис. 7).

 

 

 

 

Рис. 7.

 

Задамо тепер дійсне число .

Означення. –околом точки називається інтервал .

Тепер вже точка є центром цього інтервалу. Число називають радіусом околу (рис. 8).

 

 

 

 

Рис. 8.

 

 

Нехай задано дійсне число .

Означення. Модулем (абсолютною величиною) числа називають число , яке визначається за формулою:

 

 

Наприклад: .

З геометричної точки зору дорівнює відстані від точки до початку координат (рис. 9).

 

 

 

 

 

Рис. 9

 

 

Сформулюємо найбільш важливі властивості модуля: виконано:

1) .

2) тоді і тільки тоді, коли .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

 

Нехай – дві точки числової осі. Відстань між ними, очевидно, дорівнює (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

Рис. 10.

 

 

Розглянемо –окіл точки і припустимо, що – довільна точка цього околу (рис. 11).

 

 

 

 

 

 

Рис. 11

 

Тоді очевидно, що . Справедливо і зворотне, тобто якщо виконано , то . Зокрема, якщо , де – деяке додатне число, то і навпаки.

Виключимо з околу саму точку , тобто розглянемо множину . Тоді отримаємо так званий окіл з виколотою точкою . Для будь якого з цього околу виконано: .

Означення. Цілою частиною дійсного числа називається найбільше ціле, яке не більше, ніж .

Ціла частина числа позначається як або . Наприклад:

.

Число таким чином задовольняє подвійну нерівність: .

Означення. Дробовою частиною дійсного числа називається різниця між числом та його цілою частиною.

Позначається дробова частина числа як . Таким чином:

.

Отже . Наприклад: .

 

 

Аксіоми дійсних чисел.

 

Дійсні числа підпорядковуються наступним аксіомам.

I. :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

II. :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

III. : .

IV. Упорядкованість. визначено одне з співвідношень: , , ; при , виконано: ; , якщо ; , якщо .

V. Неперервність. Для будь яких непорожніх множин таких, що виконано , існує таке число , що виконано: .

 

 

Обмежені множини.

 

Означення. Множина називається обмеженою зверху, якщо таке, що : .

Означення. Множина називається обмеженою знизу, якщо таке, що : .

Число при цьому називається верхньою гранню множини , а число – нижньою гранню множини .

Наприклад, множина від’ємних чисел обмежена зверху, оскільки для будь якого від’ємного числа виконано нерівність: . Тобто у якості числа можна взяти нуль. Множина додатних чисел обмежена знизу, оскільки для будь якого додатного числа виконано нерівність: . У якості числа також можна взяти нуль.

Зрозуміло, що якщо множина обмежена зверху, то у неї існує нескінченна кількість верхніх граней, оскільки будь яке число, яке більше, ніж число , також буде верхньою гранню множини . Наприклад для множини від’ємних чисел верхньою гранню буде не тільки нуль, а й будь яке додатне число. Аналогічно, якщо множина обмежена знизу, то вона має нескінченну кількість нижніх граней. Для множини додатних чисел нижньою гранню буде будь яке від’ємне число.

Означення. Найменша з верхніх граней множини називається точною верхньою гранню множини , або супремумом множини і позначається як . Найбільша з нижніх граней множини називається точною нижньою гранню множини , або інфімумом множини і позначається як .

Якщо , то виконано умови:

1) ;

2) .

Якщо , то виконано умови:

1) ;

2) .

Супремум та інфімум множини можуть належати цій множині, а можуть й не належати. Наприклад, якщо , то . А якщо , то .

З означення точної верхньої грані випливає, що якщо множина має точну верхню грань, то ця верхня грань єдина (на відміну від просто верхніх граней). Аналогічно єдина й точна нижня грань множини.

Теорема. Якщо множина обмежена зверху (знизу), то у неї існує точна верхня (нижня) грань.

Доведення. Нехай непорожня множина обмежена зверху. Позначимо як – множину всіх верхніх граней множини . Оскільки множина за умовою обмежена зверху, то множина непорожня. Тоді виконано: . Внаслідок аксіоми неперервності (див. п. 3) існує таке число , що виконано: . Отже число обмежує множину зверху, тобто число є верхньою гранню множини . Оскільки виконано , то є найменшою верхньою гранню множини , тобто . Аналогічно доводиться існування точної нижньої грані.