Деякі методи обчислення границь функцій.

Використання апарату нескінченно малих дозволяє досить ефективно обчислювати границі функцій. В простіших випадках границю функції у точці можна знайти на підставі теорем про границю суми, різниці, добутку і частки функцій. Відповідний приклад ми розглянули у п. 20. Вивчення більш складних випадків почнемо з границі відношення двох функцій:

.

Якщо існують , , то границя дорівнює . Але границі як чисельника, так і знаменника можуть дорівнювати нулю, а також можуть бути нескінченними. Нехай, наприклад, . Тоді границя відношення буде нескінченною, оскільки функція, яка прямує до скінченої відмінної від нуля границі, ділиться на нескінченно малу. Нескінченність вийде і тоді, коли . Якщо , , то границя відношення, очевидно, буде дорівнювати нулю.

Підведемо підсумок у вигляді наступної таблиці:

 

 

 

 

В ній проставлено значення в залежності від та . Ми бачимо, що це значення можна однозначно визначити в усіх випадках, крім двох: а саме, коли границі обох функцій водночас дорівнюють нулю, або водночас дорівнюють нескінченності. Такі ситуації називаються невизначеностями. В даному випадку ми маємо справу з невизначеностями типу та . Границя виразів такого роду може бути і нулем, і скінченим, відмінним від нуля числом, і нескінченністю, і навіть взагалі може не існувати. Якщо вдається встановити, яка саме з цих ситуацій має місце, то кажуть, що невизначеність розкрита.

Бувають невизначеності інших типів. Найбільш часто зустрічаються наступні.

1. , коли , . Це невизначеність типу .

2. , коли , . Це невизначеність типу .

3. , коли , . Це невизначеність типу .

4. , коли , . Це невизначеність типу .

5. , коли , . Це невизначеність типу .

6. , коли , . Це невизначеність типу .

В багатьох випадках ці невизначеності можна звести до невизначеностей типу та . Тому саме з них ми й почнемо вивчення методів розкриття невизначеностей.

 

I. Невизначеність типу в раціональних виразах.

Розглянемо границю вигляду:

, де – поліном степеня , а – поліном степеня , причому , тобто є коренем обох поліномів. Тоді мають місце співвідношення:

, де – поліном степеня , а – поліном степеня . Підставляючи ці вирази до функції, що стоїть під знаком границі, і, скорочуючи на , отримаємо:

.

Якщо хоча б один з поліномів , у точці не дорівнює нулю, то тоді невизначеність зникає, і ми можемо скористатися вищенаведеною таблицею. Якщо , то треба ще раз повторити описаний прийом.

Перейдемо до прикладів.

а) .

Тут чисельник і знаменник при прямують до нуля, отже маємо невизначеність типу . А тоді:

.

б) .

Тут також має місце невизначеність типу . Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Це розкладання можна здійснювати діленням чисельника і знаменника в стовпчик на (зокрема, за схемою Горнера), або групуванням доданків у чисельнику і знаменнику.

.

в) .

Очевидно, що при чисельник і знаменник прямують до нуля, отже маємо невизначеність типу . Розкладемо чисельник і знаменник на множники:

.

 

II. Невизначеність типу в ірраціональних виразах.

У таких ситуаціях намагаються тим чи іншим чином позбутися ірраціональностей у чисельнику чи у знаменнику.

а) .

Помножимо чисельник і знаменник на .

.

б) .

Помножимо чисельник і знаменник на добуток . Отримаємо:

.

Іноді від ірраціональності можна позбавитись введенням нової змінної.

в) .

Введемо заміну . Тоді при . Маємо:

.

 

III. Невизначеність типу в раціональних виразах.

У таких ситуаціях ділять чисельник і знаменник на , де – найвища степінь змінної з тих, в яких вона міститься у чисельнику та у знаменнику.

а) .

Маємо невизначеність типу . Найвища степінь – четверта. Отже поділимо чисельник і знаменник на .

, оскільки вирази вигляду прямують до нуля при .

Застосовуючи цей метод, легко отримати наступний результат. Якщо

, то

 

IY. Невизначеність типу в ірраціональних виразах.

Тут можна також застосовувати метод ділення на у найвищій степені з тих, в яких він міститься у даному виразі, тільки цього разу ця степінь може бути дробовою.

а) .

Поділимо чисельник і знаменник на . Тоді вираз під квадратним коренем поділиться на , а під кубічним – на . Отримаємо:

.

 

б) .

Тут найвища степінь змінної дорівнює . Отже поділимо чисельник і знаменник на .

, оскільки вираз у чисельнику прямує до 1 при , а вираз у знаменнику – до нуля.

Y. Невизначеність типу .

Такого типу невизначеності одночасним множенням і діленням на деякий вираз намагаються звести до невизначеностей типу або . Розглянемо приклад.

.

Помножимо і поділимо на . Отримаємо:

.

Отримали невизначеність . Ділимо чисельник і знаменник на .

.

YI. Використання еквівалентних нескінченно малих.

Нехай треба обчислити

, і нехай функція є нескінченно малою при . Припустимо, що при : . Тоді

.

Аналогічно:

.

Таким чином, якщо нескінченно мала міститься під знаком границі у якості множника, або дільника, то її можна замінити на їй еквівалентну. Зокрема, якщо , і при : , , то

.

Зауваження. Суттєво, що нескінченно мала повинна міститись у якості множника або дільника. Якщо вона міститься у якості доданку, то, взагалі кажучи, її не можна замінити на еквівалентну. Наприклад, було б помилкою наступне міркування:

(на підставі того, що при ).

Перейдемо до прикладів.

а) .

Невизначеність типу . Замінимо нескінченно малі на їм еквівалентні: . Отримаємо:

.

 

б) .

Невизначеність . Зробимо заміну змінної . Тоді отримаємо:

.

Тут замінили: .

 

в) .

Невизначеність типу . Але тут була б помилкою заміна , , оскільки тут прямує не до нуля, а до відмінної від нуля сталої . Тому зробимо заміну змінної: ; :

.

А тут вже можна замінити , оскільки . Тоді

.

 

Використовуючи першу важливу границю (25.1), знайдемо площу круга радіуса як границю площ вписаних правильних многокутників, які розбито на рівні трикутники, тобто розв’яжемо задачу сформульовану в п.8 (рис.14). На підставі означення границі функції за Гейне з рівності (25.1) випливає, що для будь якої послідовності такої, що , і , виконано:

.

 

Площа кожного трикутника, на які розбито многокутник, дорівнює:

, де – число сторін многокутника. Тоді площа круга:

, тобто отримали відому формулу площі круга.

YII. Використання другої важливої границі.

Ця границя використовується для розкриття невизначеностей типу . Здійснюється це наступним чином. Нехай , – нескінченно малі при . Розглянемо границю:

.

Таким чином задача звелася до обчислення границі .

Перейдемо до прикладів.

а)

.

 

б)

.