Числова послідовність, види послідовностей.

 

З шкільного курсу математики відомо, що однією з найважливіших задач природознавства є вивчення змінних величин, тобто таких, які можуть приймати будь які значення з деякої множини. Зустрічалися також з поняттям функціональної залежності змінної величини від іншої змінної величини :

.

Якщо величина змінюється, то відповідним чином, взагалі кажучи, буде змінюватися і величина .

Нехай, наприклад, . Легко знайти, що, якщо приймає значення, наприклад, -2, -1, 0, 1, 2, то відповідно прийме значення 4, 1, 0, 1, 4.

Припустимо тепер, що змінна приймає значення, які наближаються до деякої заданої величини. І поставимо питання: до якої величини будуть наближатися відповідні значення величини ?

На перший погляд ця задача розв’язується дуже просто. Нехай у випадку з функцією значення наближаються до числа 1. Тоді легко підрахувати, що і значення також будуть наближатися до числа 1. Наприклад:

 

		0,5	0,75	0,9	0,95	0,99
		0,25	0,5625	0,81	0,9025	0,9801

 

Те, що значення будуть наближатися, або, як кажуть у математиці, прямувати до числа 1, здавалося би можна легко встановити, якщо у рівності покласти . Але такий “метод” справджується далеко не завжди. Розглянемо функцію:

.

І знову поставимо те ж саме питання: до якого значення буде прямувати , якщо прямує до 1?

У даній ситуації ми не можемо просто покласти , оскільки отримаємо беззмістовний вираз:

.

Але ми ставимо питання не про обчислення значення при (цього значення взагалі не існує), а про знаходження величини, до якої прямує , якщо тільки прямує до 1 (але не дорівнює 1). А оскільки , тобто , то скориставшись формулою , і, скоротивши на , отримаємо, що для всіх виконано:

.

А тоді легко бачити, що при прямуванні до 1 величина прямує до 1+1=2.

Таким чином ми бачимо, що питання про те, до якого значення прямує величина , якщо прямує до деякої заданої величини , можна розв’язувати навіть у тому випадку, коли не визначена у точці . Таке значення у математиці називають границею функції при прямуванні до .

Зауважимо, що навіть у тому випадку, коли функція визначена у точці , її границя у точці не завжди співпадає зі значенням функції у цій точці. Нехай наприклад:

Нижче ми покажемо, що границя функції при прямуванні до 0 дорівнює 1. В той же час значення функції при дорівнює 0.

Не завжди границя існує. Наприклад функція , як буде встановлено пізніше, не має границі при прямуванні до 0.

З необхідністю обчислювати граничні значення різних величин людство зіткнулося ще у давнині. В стародавні часи люди вміли обчислювати площі простіших геометричних фігур – прямокутників, трикутників. Але довгий час залишалося нерозв’язаним питання про знаходження площі круга заданого радіуса, оскільки воно було пов’язане з трансцендентним числом . І цю задачу розв’язували наступним чином: в круг вписували правильний многокутник, потім розбивали його на конгруентні рівнобедрені трикутники (рис. 14). Вміючи знайти площу кожного з них ( – число сторін многокутника), наближено покладали:

. (8.1)

Наскільки точна ця формула? Вона тим точніша, чим більше , тобто чим менше площа многокутника відрізняється від площі круга. Обираючи все більші та більші значення , ми будемо отримувати все більш точні значення площі круга.

 

Рис. 14.

 

Але, скільки б ми не збільшували у формулі (8.1), точної формули ми все ж таки не отримаємо. А як отримати точне значення площі? Для цього треба знайти границю величини , якщо прямує до нескінченності. Тобто знайти границю площ вписаних многокутників при необмеженому збільшенні числа їх сторін. Ця границя, як ми покажемо в п. 27, дорівнює , де – радіус круга. Це й є точна формула для площі круга.

Необхідність обчислення граничних значень величин виникає також і в задачах механіки та фізики. Нехай ми маємо точку , яка рухається вздовж прямої. Нехай за час ця точка пройшла відстань . Відомо, що середня швидкість руху на цій ділянці шляху обчислюється за формулою:

.

Але це саме середня швидкість. Разом з цим на протязі часу точка може рухатися нерівномірно: спочатку, наприклад, швидко, потім повільно, а певний час взагалі стояти на одному місці, потім знову швидко (приблизно так відбувається рух транспорту по міським вулицям). Таким чином середня швидкість не є достатньо адекватною характеристикою руху. Тому часто виникає задача знаходження швидкості не на протязі якогось проміжку часу, а в будь який момент часу, тобто так званої миттєвої швидкості. Як її можна знайти? Як границю значення середньої швидкості при прямуванні проміжку часу до нуля. Відмітимо також, що ця задача водночас приводить до одного з найважливіших понять математиці – поняття похідної (див. розділ “Диференціальне числення функції однієї змінної”).

Вивчення границь ми почнемо з одного з простіших випадків – границі числової послідовності.

Означення. Якщо кожному натуральному числу за певним законом поставлено у відповідність одне й тільки одне дійсне число , то множину чисел називають числовою послідовністю (або просто послідовністю).

Іншими словами послідовність – це зліченна занумерована сукупність дійсних чисел.

Простіші приклади послідовностей зустрічаються вже у шкільному курсі алгебри та початків аналізу. Наприклад, множина натуральних чисел утворює послідовність – тут кожному натуральному числу поставлено у відповідність саме це число. Іншими прикладами є арифметична та геометрична прогресії.

Вираз називається загальним членом послідовності. Це формула, яка за будь яким натуральним числом дозволяє знайти елемент послідовності з номером . Наприклад, для послідовності натуральних чисел , для арифметичної прогресії , а для геометричної .

Наведемо ще кілька прикладів послідовностей та їх загальних членів.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

 

Нагадаємо тут, що ( -факторіал) – це добуток всіх натуральних чисел від 1 до , тобто .

Числові послідовності можна задавати і так званим рекурентним (від лат. recurrens – зворотний) способом. Суть його у тому, що задаються декілька (наприклад ) перших членів послідовності і вказується правило, за яким за відомими послідовними членами послідовності можна знайти наступний член. Наприклад відомі у математиці числа Фібоначчі визначаються так:

Тобто кожне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх.

Іноді за рекурентною формулою вдається знайти і загальний член послідовності, але не завжди це можливо. Відповідні задачі розглядаються у такій галузі математики, як теорія різницевих рівнянь.

У подальшому послідовність, що має загальний член , будемо записувати так: .

Означення. Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує число таке, що виконано: .

Означення. Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує число таке, що виконано: .

Означення. Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху і знизу.

Таким чином, послідовність обмежена, якщо обмежена множина її елементів. Для обмеженої послідовності маємо: таке, що виконано: .

Наприклад, послідовність обмежена зверху (але не обмежена знизу), послідовність обмежена знизу (але не обмежена зверху), а послідовність обмежена.

Означення. Послідовність називається зростаючою (неспадною), якщо виконано: ().

Тобто кожен член послідовності, починаючи з другого, більше (не менше) попереднього.

Означення. Послідовність називається спадною (незростаючою), якщо виконано: ().

Тобто кожен член послідовності, починаючи з другого, менше (не більше) попереднього.

Наприклад, послідовність – зростаюча, послідовність – спадна, послідовність – неспадна, послідовність – незростаюча.

Зростаючі, спадні, незростаючі та неспадні послідовност називаються монотонними послідовностями.

Означення. Сумою послідовностей та називається послідовність (кожен член цієї послідовності дорівнює сумі відповідних членів послідовностей та ).

Аналогічним чином визначаються різниця, добуток і частка послідовностей.

 

 

Границя послідовності.

 

Перейдемо тепер безпосередньо до поняття границі послідовності. Розглянемо послідовність . Відмітимо на числовій прямій точки, які відповідають декілька першим членам цієї послідовності.

 

 

 

 

 

Рис. 15.

 

Ми бачимо, що зі зростанням номера елементи послідовності наближаються до числа 1. Розглянемо інтервал числової осі, який містить точку 1. Цей інтервал є 0,2–околом точки 1, і виконана нерівність

Тепер дослідимо уважніше характер наближення елементів нашої послідовності до числа 1. Очевидно, що перші 5 членів послідовності не належать вказаному інтервалу (нагадаємо, що межа 1,2 інтервалу цьому інтервалу не належить). А вся решта елементів, починаючи з шостого , опиняються всередині його, отже для них буде виконано нерівність:

 

Ми можемо сказати, що для числа 0,2 знайшовся номер такий, що, починаючи з наступного за ним, тобто , всі елементи послідовності будуть задовольняти нерівність (8.2).

Тепер розглянемо інший, більш вузький окіл точки 1, а саме , тобто 0,1–окіл точки 1. І для цього околу спостерігається ситуація, аналогічна попередній. Цього разу перші 10 елементів нашої послідовності вказаному околу не належать, а решта, починаючи з 11-го , належать, і для них виконано нерівність

.

Аналогічно, якщо ми розглянемо, наприклад, 0,01–окіл точки 1, тобто множину точок , що задовольняє нерівність , то помітимо, що, починаючи з номера, наступного за , всі елементи послідовності потрапляють всередину цього околу, а за його межами залишається лише скінчена кількість елементів послідовності , тобто буде виконано нерівність .

Тепер можна помітити деяку закономірність. Як би ми не звужували окіл точки , завжди знайдеться такий номер такий, що починаючи з наступного за ним, всі елементи послідовності потраплять всередину цього околу (тобто нескінченна їх кількість), а за його межами буде міститися лише скінчена кількість елементів послідовності. У першому з розглянутих випадків номер дорівнював 5, у другому 10, у третьому 100. Від чого він залежить? Очевидно від довжини нашого околу – чим вужчим становився окіл, тім, взагалі кажучи, був більшим номер . Не будемо тепер точно фіксувати довжину околу, а припустимо, що його довжина дорівнює , де – мале додатне число, тобто розглянемо -окіл точки . Для всіх з цього околу виконано нерівність:

.

Тепер можна встановити такий факт: починаючи з номера, наступного за (тут – ціла частина числа ) всі елементи послідовності будуть належати інтервалу . Таким чином, номер , взагалі кажучи, залежить від числа , який визначає довжину інтервалу. Тобто встановили наступне:

(тобто , що залежить від ) такий, що виконана нерівність:

.

У цьому випадку кажуть, що число 1 є границею послідовності при , і пишуть:

.

( – скорочення від limes – границя).

А тепер ми можемо сформулювати означення границі послідовності у загальному випадку:

Означення. Число називається границею послідовності , якщо для будь якого додатного числа знайдеться такий номер , який залежить від , що для всіх номерів , більших, ніж , виконується нерівність:

.

За допомогою кванторів це означення записується так:

Число називається границею послідовності , якщо

.

(як бачимо, за допомогою кванторів значно коротше).

У цьому випадку ми пишемо:

.

Іншими словами, це означає, що у будь якому, скільки завгодно малому околі точки знайдеться нескінченна кількість елементів послідовності, а за межами цього околу залишається лише скінченна їх кількість.

Приклади.

1. Розглянемо сталу послідовність, тобто . Покажемо, що . Задамо довільне . Очевидно, що нерівність виконується для будь якого , отже у якості можна взяти 1.

2. Довести, що .

Задамо довільне і розглянемо:

.

Будемо вимагати, щоб виконувалась нерівність:

.

Тоді , або . Отже, якщо , то для всіх елемен-

тів послідовності, починаючи з , буде виконано: . Таким чином, виконано . Це й означає, що .

3. Довести, що .

 

Задамо довільне і розглянемо:

.

Якщо вимагати, щоб , то . Таким чином, якщо , то, починаючи з номера , буде виконано нерівність . Отже , що й треба було довести.

4. Доведемо, що послідовність не має ніякої

границі.

Загальний член цієї послідовності . Припустимо, що існує . Тоді . Оберемо, наприклад . Тоді, починаючи з номера , буде виконано:

.

Розглянемо деякий номер . Тоді , оскільки будь які два сусідні члени послідовності відрізняються на 2. З іншого боку:

.

Таким чином отримали невірну нерівність . Це й показує, що у даної послідовності не існує границі.

Можуть бути такі послідовності, які мають границю, але ця границя нескінченна.

Означення. Якщо такий, що виконано нерівність , то кажуть, що .

Тобто за рахунок збільшення номера модуль елемента послідовності можна зробити більшим, ніж будь яке наперед задане число .

Приклад. Довести, що .

Задамо довільне і розглянемо нерівність:

.

Ця нерівність завжди буде виконана, якщо , або .

Аналогічно вводяться для послідовності нескінченні границі, які дорівнюють та . Вони визначаються так:

Означення. Якщо такий, що виконано нерівність , то кажуть, що .

Означення. Якщо такий, що виконано нерівність , то кажуть, що .

Означення. Якщо послідовність має скінченну границю, то вона називається збіжною, у протилежному випадку – розбіжною.

Наприклад, послідовності , – збіжні, а послідовності , , , – розбіжні.