Нескінченні множини. Порівняння нескінченних множин.

У математиці часто доводиться мати справу з нескінченними множинами. Було помічено, що властивості нескінченних множин суттєво відрізняються від властивостей скінченних множин. Систематично розробляти теорію нескінченних множин почав наприкінці XIX ст. німецький математик Георг Кантор. Основна його ідея полягала у встановленні взаємно однозначної відповідності між елементами множин. Якщо таку відповідність вдається знайти, то множини називаються рівнопотужними (або кажуть, що вони мають однакову потужність). Очевидно, що скінченні множини будуть рівнопотужними тоді й тільки тоді, коли вони мають однакову кількість елементів. Для нескінченних множин ситуація зовсім інша.

Приклад 1. Розглянемо множину парних натуральних чисел і множину непарних натуральних чисел. Між елементами цих множин взаємно однозначна відповідність встановлюється легко:

.

Тобто кожному непарному числу відповідає наступне за ним парне.

Приклад 2. Нехай – множина натуральних чисел, – множина парних натуральних чисел. Взаємно однозначну відповідність можна встановити так:

.

С точки зору скінченних множин цей результат є дещо несподіваним. Адже множина є підмножиною множини : . І за аналогією зі скінченними множинами здавалось би, що потужність множини має бути більше потужності множини . А з’ясовується, що ці множини рівнопотужні.

Приклад 3. Нехай задано два відрізки і , причому . Покажемо, що потужність множини точок відрізку співпадає з потужністю множини точок відрізку . Тобто множини точок на будь яких двох відрізках є рівнопотужними.

Виконаємо наступну побудову. Розташуємо відрізки і паралельно один одному. Проведемо прямі і та позначимо через точку їх перетину (рис. 12).

Рис. 12.

Нехай – довільна точка відрізку . Проведемо пряму і позначимо через точку перетину цієї прямої з відрізком . Очевидно, що точка існує та єдина, тому кожній точці відрізку відповідатиме одна й тільки одна точка відрізку . Тепер на відрізку оберемо довільну точку і проведемо пряму . Позначимо через точку перетину цієї прямої з відрізком . Точка також існує та єдина, отже кожній точці відрізку відповідатиме одна й тільки одна точка відрізку . Таким чином між точками відрізків і встановлено взаємно однозначну відповідність, отже множини точок на цих відрізках рівно потужні.

Приклад 4. Покажемо, що множина точок будь якого відрізку і множина точок прямої лінії рівно потужні. Нехай задано відрізок і пряма . На відрізку як на діаметрі (точка – середина відрізку ) опишемо півколо і пряму розташуємо як дотичну до цього кола, паралельну відрізку (рис. 13).

 

 

 

Рис. 13.

 

Нехай – довільна точка відрізку . Опустимо з точки перпендикуляр на пряму і позначимо через точку перетину цього перпендикуляру з півколом. Проведемо пряму і позначимо через точку перетину цієї прямої з прямою . Така точка існує та єдина, отже кожній точці відрізку відповідатиме одна й тільки одна точка прямої . Нехай тепер – довільна точка прямої . Проведемо пряму і позначимо через точку перетину цієї прямої з півколом. Опустимо з точки перпендикуляр на відрізок . Отримаємо єдину точку . Отже кожній точці прямої відповідатиме одна й тільки одна точка відрізку , і таким чином між точками відрізку і прямої встановлено взаємно однозначну відповідність, а це означає, що множини точок відрізку і прямої рівно потужні.

Можна довести, що множина точок відрізку рівнопотужна не тільки множині точок прямої, але й площини і навіть простору, причому розмірність простору не відіграє ролі. Отже в усьому Всесвіті точок «стільки ж», скільки їх навіть у як завгодно малому відрізку.

Ці приклади показують, наскільки властивості нескінченних множин відрізняються від властивостей скінченних множин. З «точки зору» скінченних множин розглянуті приклади просто абсурдні.

Кантор запропонував метод порівняння різних множин. Припустимо, що множини і не є рівно потужними, тобто між їх елементами не можна встановити взаємно однозначну відповідність. І припустимо, що існує підмножина множини , яка рівнопотужна множині . Тоді кажуть, що потужність множини більше потужності множини .