Розривні функції. Класифікація точок розриву функції.

 

Якщо у деякій точці порушується хоч би одна з умов, наведених в означенні неперервності функції в точці, то кажуть. що у точці функція має розрив, або функція називається розривною у точці . Точка називається точкою розриву функції. Розрізняють наступні види розривів.

Означення. Кажуть, що у точці функція має розрив I роду, якщо в цій точці існують скінченні однобічні границі, і не всі числа (у випадку визначеності функції в точці ), , співпадають.

Графіки таких функцій зображені на рис. 39, 40 (б). Такого типу розриви має, наприклад, функція (ціла частина ), графік якої зображено на рис. 49.

 

Рис. 49.

 

Ця функція має розриви I роду у точках .

Означення. Кажуть, що у точці функція має розрив II роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції у цій точці нескінченна або не існує.

Графік такої функції показано на рис. 40(в). Прикладом може бути функція (розрив II роду у точці ), функція (розриви II роду у точках ). Розрив II роду має у точці і функція , оскільки не існує границі цієї функції при (рис. 50).

Рис. 50.

Означення. Кажуть, що в точці функція має усувний розрив, якщо в цій точці існують однобічні границі, вони співпадають, але функція не визначена у точці .

Графік такої функції показано на рис. 40(г). Характерною його ознакою є наявність «виколотої» точки. Наприклад, функція має усувний розрив в точці . Дійсно , але функція не визначена у цій точці.

Якщо функція у точці має розрив такого типу, то його можна усунути (звідси і назва розриву), якщо довизначити функцію у точці , тобто ввести нову функцію

Така функція вже буде неперервною у точці . Наприклад, функція

неперервна у будь якій точці числової прямої, у тому числі у точці .

 

 

 

Контрольні питання.

1. Що розуміється під поняттям множини?

2. Що таке об’єднання та перетин множин?

3. Що таке числові множини? Які основні числові множини ви знаєте?

4. Що таке раціональне число? Що таке дійсне число?

5. Які множини називаються зліченними? Чи є зліченною множина раціо-

нальних чисел? Множина дійсних чисел?

6. Що таке інтервал на числовій прямій? Що таке відрізок або сегмент?

7. Що таке числова послідовність? Які існують способи задання послідов-

ності?

8. Які послідовності називаються обмеженими?

9. Які послідовності називаються монотонними?

10. Що таке границя послідовності? Яка послідовність називається збіжною?

11. Чи випливає з обмеженості послідовності її збіжність? Наведіть відповід-

ні приклади?

12. Яка послідовність називається нескінченно малою? Чи можна стверджу-

вати, що частка двох нескінченно малих послідовностей також є нескін-

ченно малою? Наведіть відповідні приклади. Чи можна стверджувати, що

різниця двох нескінченно малих послідовностей є також нескінченно ма-

лою?

13. Яка послідовність називається нескінченно великою? Чи можна стверд-

жувати, що частка двох нескінченно великих послідовностей є також не-

скінченно великою? Чи можна стверджувати, що різниця двох нескінчен-

но великих послідовностей є також нескінченно великою? Наведіть відпо-

відні приклади.

14. Дайте означення функції. Які існують способи задання функції?

15. Що таке суперпозиція функцій? Що таке складена функція?

16. Що називається функцією, оберненої до даної функції? Який зв’язок між

графіками двох взаємно обернених функцій?

17. Які функції називаються елементарними? Наведіть приклади елементар-

них та неелементарних функцій? Чи можна стверджувати, що сума двох

елементарних функцій є також функцією елементарною? Чи можна

стверджувати, що сума двох неелементарних функцій є також функцією

неелементарною? Наведіть відповідні приклади.

18. Дайте означення границі функції в точці та у нескінченності за Коші та

за Гейне.

19. Що таке однобічні границі функції?

20. Яка функція називається неперервною в точці? Яка функція називається

розривною в точці? Які існують типи розривів функції?

 

 

Вправи для самостійного розв’язування.

 

Вправи до розділу 5.

1. Методом математичної індукції довести справедливість рівностей:

1) , 2) ,

3) , 4) .

2. Написати п”ять перших членів послідовностей з наступними загальними членами:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

3. На підставі декількох перших членів послідовностей встановити формулу їх загальних членів:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

4. Використовуючи мову «», довести наступні рівності:

1) , 2) , 3) .

5. Довести, що послідовність не має ніякої границі.

6. Знайти границі

1) , 2) , 3) ,

4) . 5) , 6) ,

7) , 8)

9) , 10) ,

11) , 12) , 13) ,

14) , 15) , 16) ,

17) , 18) ,

19) , 20) .

7. Знайти область визначення функцій

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) .

8. Дослідити функції на парність, непарність і періодичність.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) 6) ,

7) , 8) , 9) .

9. Побудувати графіки функцій:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) ,

19) , 20) ,

 

 

10. Сформулювати за допомогою нерівностей, що означає:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) .

11. Сформулювати за допомогою нерівностей, що означає:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) .

12. Використовуючи мову «», довести наступні рівності:

1) , 2) , 3) .

13. Знайти границі:

1) , 2) , 3) .

14. Знайти границі шляхом розкладання чисельника і знаменника на множники:

1) , 2) 3) ,

4) , 5) , 6) .

15. Знайти границі шляхом одночасного множення чисельника і знаменника на вираз, спряжений чисельнику, або знаменнику:

1) , 2) ,

3) , 4) 5) .

16. Знайти границі шляхом ділення чисельника і знаменника на у найстаршій степені з тих, в яких він міститься у чисельнику та знаменнику:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) ,

17. Знайти границі шляхом одночасного множення і ділення на спряжений вираз:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) .

18. Знайти границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

19. Знайти границі, використовуючи другу важливу границю:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

20. Задано функцію:

Чи буде ця функція неперервною? Побудувати її графік.

21. Знайти числа і такі, щоб функція

була неперервною. Побудувати її графік.

22. Показати, що наступні функції не являються неперервними у точці . Довизначити кожну з них у цій точці так, щоб вона в цій точці стала неперервною:

1) , 2) , 3) .

23. Дослідити функцію на неперервність і побудувати схематично її графік:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5)

 

 

 

 

 

 

[1] Больцано Бернард (1781–1848) – чеський математик. Вейєрштрасс Карл (1815–1897) – видатний німецький математик.

[2] Коші Огюстен Луї (1789–1857) – видатний французький математик.

* Гейне Генріх Едуард (1821–1881) – німецький математик. Не путати з відомим поетом Генріхом Гейне.