Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності.

 

Означення. Послідовність називається нескінченно малою, якщо .

Тобто якщо .

Наприклад, послідовності є нескінченно малими (див. п. 9, приклад 2 та п. 10, приклад 1).

Теорема. Сума та різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай – нескінченно малі послідовності. Тоді та . Позначимо . Тоді при водночас буде виконано , . Отже

.

Це й означає, що послідовності нескінченно малі.

Доведена властивість легко поширюється на будь яке скінченне число доданків.

Теорема. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність (зокрема, сталу) є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай послідовність – обмежена. Тоді : . Нехай послідовність нескінченно мала. Тоді . Тоді буде виконано:

.

Це й означає, що послідовність – нескінченно мала.

Наслідок. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Дійсно, нехай – нескінченно малі послідовності. Послідовність є обмеженою, оскільки вона збіжна, а тоді послідовність – нескінченно мала.

Ця властивість легко поширюється на будь яке скінченне число множників.

Зауваження. Про частку двох нескінченно малих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна. Така частка може бути нескінченно малою, а може й не бути. І взагалі навіть може не бути збіжною.

Приклади.

1. Нехай . Ці послідовності нескінченно малі. Частка у даному випадку також нескінченно мала.

2. Нехай . Ці послідовності нескінченно малі. Але частка не є нескінченно малою, її границя дорівнює .

3. Нехай . Ці послідовності нескінченно малі. Але частка взагалі не є збіжною послідовністю (див. п. 9, приклад 4).

Теорема. Для виконання рівності необхідно і достатньо виконання рівності , де – нескінченно мала послідовність.

Доведення. Необхідність. Нехай . Це означає, що . Покладемо . Тоді послідовність – нескінченно мала, і .

Достатність. Нехай , де послідовність – нескінченно мала. Тоді . Оскільки , то , тобто .

Приклад. Нехай . Легко встановлюємо, що . Маємо:

, де – нескінченно мала.

Теорема (арифметичні властивості границь послідовностей). Нехай . Тоді:

1) ;

2) ;

3) якщо , то .

Доведення. Оскільки , то на підставі попередньої теореми , , де – нескінченно малі послідовності. Звідси . Оскільки послідовність – нескінченно мала, то знову на підставі попередньої теореми маємо: . Далі:

.

Оскільки – нескінченно малі послідовності, то послідовності також є нескінченно малими, звідки випливає, що й послідовність – нескінченно мала, і на підставі попередньої теореми .

З цієї властивості і того, що , зокрема, випливає, що

.

Тобто сталий множник можна виносити за знак границі.

Доведемо тепер, що послідовність – нескінченно мала. Дійсно:

.

Оскільки – нескінченно малі послідовності, то послідовність також нескінченно мала.

Покажемо, що послідовність обмежена. Оскільки , то : . Тоді маємо:

.

Покладемо . Тоді , і отже : . Тобто послідовність дійсно обмежена. А тоді послідовність – нескінченно мала як добуток нескінченно малої послідовності на обмежену. Таким чином послідовність – нескінченно мала, отже .

Означення. Послідовність називається нескінченно великою, якщо .

Може скластися враження, що поняття нескінченно великої послідовності та поняття необмеженої послідовності співпадають. Насправді це не так. Нескінченно велика послідовність дійсно є необмеженою. Але обернене твердження невірне. Розглянемо таку послідовність:

Ця послідовність необмежена, але не є нескінченно великою. Дійсно, якби вона була нескінченно великою, то : . Але якщо – непарне, то – парне, і тоді . А якщо – парне, то також парне, і тоді . У будь якому разі потрібна умова не виконується.

Теорема. Якщо послідовності нескінченно великі, причому , то послідовність також нескінченно велика, і .

Доведення. Оскільки , то . Оскільки , то . Покладемо . Тоді, якщо , то водночас виконується: , . Отже : , тобто .

Аналогічно доводиться, що якщо , то . Тобто сума двох нескінченно великих послідовностей одного знаку є також нескінченно великою послідовністю того ж знаку.

Зауваження. Про послідовність (також як і про суму нескінченно великих послідовностей різних знаків) у загальному випадку нічого сказати не можна – ця послідовність може бути нескінченно великою, а може й не бути, і може навіть взагалі не мати ніякої границі (ані скінченної, ані нескінченної).

Приклади.

1. Нехай . Ці послідовності нескінченно великі. В даному випадку послідовність – також нескінченно велика.

2. Нехай . Ці послідовності нескінченно великі. Але послідовність не є нескінченно великою: .

3. Нехай . Ці послідовності нескінченно великі. Але послідовність не є нескінченно великою, вона навіть нескінченно мала.

4. Нехай , . Ці послідовності нескінченно великі. Але послідовність взагалі не має ніякої границі.

Теорема. Якщо послідовності нескінченно великі, то й послідовність – нескінченно велика.

Доведення. Оскільки послідовність нескінченно велика,то . Оскільки послідовність – нескінченно велика, то . Покладемо: . Тоді водночас виконано: , . Отже виконано: , а це й означає, що , тобто послідовність – нескінченно велика.

Зауваження. Про частку двох нескінченно великих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна, також як про частку двох нескінченно малих. Відповідні приклади пропонується навести самостійно.

Теорема. Сума нескінченно великої та обмеженої (зокрема, сталої) послідовностей є послідовність нескінченно велика.

Доведення. Нехай послідовність – нескінченно велика, а послідовність – обмежена. Тоді : . І . Тоді , тобто послідовність нескінченно велика.

Теорема. Добуток нескінченно великої послідовності на сталу є послідовністю нескінченно великою.

Доведення. Нехай , а – нескінченно велика послідовність. Тоді . Отже , тобто – нескінченно велика послідовність.

Зауваження. Про добуток обмеженої послідовності на нескінченно велику та нескінченно малої на нескінченно велику у загальному випадку нічого сказати не можна (відповідні приклади наведіть самостійно).

Теорема. Якщо виконано , то послідовність є нескінченно великою тоді і тільки тоді, коли – нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай послідовність – нескінченно велика. Тоді . Покажемо, що послідовність – нескінченно мала. Для цього треба показати, що виконано . Задамо довільне і покладемо . Для цього знайдеться номер такий, що виконано . Тоді виконано:

, а це й означає, що послідовність – нескінченно мала.

Навпаки, нехай послідовність – нескінченно мала. Це означає, що виконано . Покажемо, що послідовність – нескінченно велика. Для цього треба показати, що виконано: . Задамо довільне і покладемо . Для цього знайдеться номер такий, що виконано . Тоді виконано:

, а це й означає, що послідовність – нескінченно велика.

Теорему доведено.

 

 

12. Границя монотонної послідовності. Число .