Основні елементарні функції та їх графіки.

 

Вивчаючи те чи інше явище, ми часто змушені мати справу з величинами, які пов’язані між собою так, що зміна деяких з них приводить до зміни інших. Такий взаємозв’язок у математиці виражається за допомогою поняття функції. Наприклад площа круга радіуса виражається формулою: . Змінюючи радіус , ми відповідним чином будемо змінювати і площу, отже ми можемо сказати, що площа круга є функцією його радіуса . Згідно з законом всесвітнього тяжіння, сила, з якою тіла масами та взаємодіють між собою, виражається формулою:

, де – відстань між центрами тіл, – універсальна гравітаційна стала. Залишаючи та незмінними, ми можемо змінювати відстань , і тоді відповідним чином буде змінюватись сила , тобто ми можемо сказати, що є функцією змінної .

Дамо тепер означення функції.

Означення. Якщо кожному числу з деякої числової множини за певним законом поставлено у відповідність одне і тільки одне число з числової множини , то кажуть, що на множині задано функцію .

Змінна називається незалежною змінною, або аргументом. Змінна називається залежною змінною, або саме функцією. Під символом ми розуміємо як раз той самий закон, за яким встановлюється відповідність, тобто ті операції, які треба виконати над аргументом , щоб дістати відповідне значення функції .

Множина називається областю визначення функції і позначається . Множина називається множиною значень функції і позначається . Наприклад, для функції областю визначення є відрізок , а множиною значень відрізок . Декільком різним значенням аргументу може відповідати одне й те ж значення функції , зокрема у наведеному прикладі різним значенням аргументу відповідає одне й те ж значення функції . Але наведене означення функції забороняє ситуацію, коли одному й тому ж значенню аргументу відповідає декілька різних значення функції. Хоча в інших розділах математичного аналізу, наприклад теорії функцій комплексної змінної, розглядаються і такі (так звані багатозначні) функції.

Розглянуті у попередніх параграфах послідовності теж можна розглядати як функції, область визначення яких є множина :

Функцію можна задавати різними способами.

1. Аналітичний спосіб. Це спосіб задання функції за допомогою формули (аналітичного виразу):

, або .

Наприклад, формула – це аналітичний спосіб задання функції, яка кожному дійсному значенню аргументу ставить у відповідність значення .

Аналітичний спосіб має як свої переваги, так і свої недоліки. До переваг відносяться компактність, зручність при проведенні теоретичних досліджень та ін. До недоліків – відсутність наочності, необхідність проводити обчислення для знаходження значень функції та ін.

2. Табличний спосіб. Це спосіб задання функції за допомогою таблиці, яка містить значення функції при деяких обраних значеннях аргументу:

 

			…
			…

 

Тут .

Наприклад, для функції ця таблиця може мати такий вигляд:

 

		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
		0,01	0,04	0,09	0,16	0,25

 

 

Цей спосіб часто використовують при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції . Крім того, табличний спосіб широко застосовується при розв’язанні математичних задач за допомогою комп’ютерів, коли вихідну інформацію комп’ютер видає у вигляді числових масивів (таблиць). Зі школи вам знайомі відомі «Чотиризначні математичні таблиці» В.М.Брадіса.

Цей спосіб також має переваги та недоліки. До переваг відноситься те, що не треба обчислювати значення функції (вони вже є у таблиці) До недоліків громіздкість (таблиці займають багато місця), відсутність наочності, а також те, що принципово неможливо без додаткової інформації знайти значення функції для тих значень аргументу, які не входять до таблиці (а іноді це треба робити). Правда, якщо є деяка додаткова інформація про властивості функції, то можна наближено знайти ці значення за допомогою так званої інтерполяції.

3. Графічний спосіб. Це спосіб задання функції за допомогою графіка, тобто множини точок на координатній площині, прямокутні координати яких задовольняють рівність . Залежно від того, яку задано функцію, графік її може складатися з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини точок тощо. Наприклад, графік функції має вигляд (славнозвісна парабола):

 

Рис. 16.

 

Графічним способом широко користуються при дослідженнях, пов’язаних з використанням таких засобів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму, чи напруги), електрокардіографа (для запису електричних явищ, пов’язаних з діяльністю серця), термографа (для запису температури повітря) тощо. Криві (відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), які виписують ці прилади, задають певну функцію, властивості якої характеризують перебіг того, чи іншого процесу.

До переваг графічного способу відноситься, перш за все, наочність (те, чого не мають аналітичний та табличний способи). Маючи графік, можна наочно уявити собі характер процесу, який цим графіком описується. Разом з цим графічний спосіб має і недоліки: громіздкість, лише наближене уявлення про значення функції при конкретних значеннях аргументу.

4. Словесний спосіб. Існують функції, які складно, або взагалі неможливо задати формулою, а також неможливо побудувати графік. Деякі з таких функцій можна описати просто за допомогою слів. Класичним прикладом такої функції є так звана функція Діріхле:

 

Графік цієї функції практично зобразити не можна, оскільки він складається з точок прямої , які мають раціональні абсциси, і точок прямої , які мають ірраціональні абсциси. Формулою задати, взагалі кажучи, можливо, але дуже складно. А таблиця значень цієї функції теж не може значно допомогти, оскільки буде містить лише два значення функції, до того ж неможливо задати скінченим десятковим дробом ірраціональне значення аргументу.

Функції, з якими ми у подальшому будемо мати справу, складаються з порівняно невеликого числа функцій, які називаються основними елементарними функціями. До них відносяться наступні функції.

1. Сталі функції, або константи.

Це функції виду (тобто у кожній точці така функція приймає одне й те ж значення). Областю визначення такої функції є проміжок , а множиною значень лише точка . Графіком такої функції є пряма лінія, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку на осі ординат (рис. 15).

 

 

 

Рис. 17.

 

 

2. Степеневі функції. Це функції вигляду , де . Область визначення і множина значень такої функції залежить від . Наведемо деякі приклади таких функцій та їх графіків.

1) ; .

 

 

Рис. 18.

 

 

2) . Графік наведено на рис. 16.

3) . Графіком є так звана кубічна парабола:

 

Рис. 19.

 

4) .

 

 

 

Рис. 20.

 

5) . Графіком такої функції є гіпербола:

 

 

 

Рис. 21.

 

 

6) .

 

 

 

Рис. 22.

 

3. Показникові функції: . Характер графіка функції залежить від числа :

 

1) 2)

 

Рис. 23 (а). Рис. 23 (б).

 

Зокрема, до таких функцій належить й славнозвісна експонента, про яку вже згадувалося, але детальніше буде йтися у подальшому.

4. Логарифмічні функції: . Характер графіка також залежить від числа :

 

1) 2)

 

 

Рис. 24 (а). Рис. 24 (б).

 

 

5. Тригонометричні функції:

 

1) .

 

 

 

Рис. 25 (а).

 

2)

 

 

 

Рис. 25 (б).

 

3)

 

 

 

Рис. 26 (а).

 

 

4)

 

 

Рис. 26 (б).

 

 

6. Обернені тригонометричні функції.

 

1)

 

Рис. 27 (а).

 

 

2)

 

 

 

Рис. 27 (б).

 

3) .

 

Рис. 28 (а).

 

 

4)

 

 

 

Рис. 28 (б).