Операції над функціями. Складена та обернена функція.

Визначимо тепер операції над функціями. Нехай маємо функцію , яка визначена на множині , і функцію , яка визначена на множині . Припустимо, що . Тоді на множині можна визначити суму функцій . Значення цієї функції у кожній точці дорівнює сумі . Аналогічно на множині можна визначити різницю , добуток та частку цих функцій (останню крім точок, де ).

Нехай на множині визначено функцію , множиною значень якої є множина . І нехай на множині визначено функцію , множиною значень якої є множина . Припустимо, що . Тоді на деякій підмножині множини визначено так звану складену функцію , множиною значень якої є деяка підмножина множини . Тобто складена функція утворюється шляхом підстановки значень одної функції замість аргументу іншої. Така операція називається операцією суперпозиції функцій і .

Щоб знайти – область визначення складеної функції , треба з’ясувати, для яких значень значення функції належать області визначення функції . Взагалі кажучи, це досить складна задача. Для її розв’язання, як правило, треба розв’язувати нерівності та системи нерівностей. Значна частина таких нерівностей розглядається у шкільному курсі алгебри.

Розглянемо приклад. Нехай задано функцію . Тут

. І функцію . Тут

. Тоді .

Утворимо за допомогою суперпозиції функцій і складену функцію:

.

Знайдемо її область визначення . Оскільки , то повинна виконуватись нерівність , звідки . Тобто . Множина значень складеної функції: .

Введемо тепер поняття оберненої функції. Розглянемо функцію , яку визначено на деякій множині , а множиною її значень є множина . Припустимо тепер, що для кожного значення існує єдине значення таке, що . Тобто двом різним значенням аргументу відповідають різні значення функції. Оскільки у свою чергу згідно з означенням функції існує єдине значення таке, що , то між елементами множин та встановлено взаємно однозначну відповідність. Визначимо тепер на множині функцію наступним чином: : , де . Тобто фактично кожному значенню функції поставлено у відповідність відповідний аргумент цієї функції (він, згідно умови, визначається однозначно). Функція називається оберненою до функції . Якщо , то . Зрозуміло, що у свою чергу функція буде оберненою до функції . Щоб знайти обернену функцію для функції треба рівняння розв’язати відносно за умови, що такий розв’язок існує та єдиний.

Який вигляд має графік функції, оберненої до даної? Оскільки кожна точка кривої є водночас точкою кривої , то графік функції співпадає з графіком функції . Тільки якщо у випадку за відомим значенням встановлюється значення (рис. 29 а), то у випадку за відомим встановлюється значення (рис. 29 б).

 

а б

 

Рис. 29.

 

 

Припустимо тепер, що у виразі змінні та змінені місцями, тобто розглянемо функцію . Тоді кожна точка кривої стане точкою кривої . Оскільки в системі координат точки і симетричні відносно прямої , то графіки взаємно обернених функцій також симетричні відносно цієї прямої, тобто бісектриси 1–го та 3–го координатних кутів (рис. 30).

 

 

Рис. 30.

 

 

 

Приклади.

1. Розглянемо функцію . Тоді звідси: – обернена до неї. Змінюючи в цій рівності та місцями, отримаємо: . Зображуємо графіки функцій та в одній системі координат і переконуємось в тому, що вони симетричні відносно прямої (рис. 31).

 

Рис. 31.

 

2. До функції оберненою є функція (тут вже змінили місцями та ). Для цієї функції (рис. 32).

 

Рис. 32.

 

3. Побудуємо обернену до функції . Одразу це зробити неможливо, оскільки, як ми зауважили вище, одному й тому ж значенню функції відповідає безліч значень аргументу (внаслідок періодичності). Тому спочатку ми повинні звузити область визначення цієї функції. Власне розглянути іншу функцію, яку визначено лише на відрізку , і на цьому відрізку її значення співпадають зі значеннями функції . Така функція має обернену функцію . Для неї (рис.33).

 

 

 

Рис. 33.

 

 

4. Існують функції, які є оберненими до самих себе. Виникає така ситуація тоді, коли розв’язок рівняння має вигляд . Наприклад, такими є функції , . Графіки таких функцій самі симетричні відносно прямої . На рис. 34 зображено графік функції .

 

 

Рис. 34.

 

Елементарні функції та їх класифікація.

Деякі важливі типи функцій.

Означення. Елементарною функцією називається така функція, яка утворюється з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа операцій додавання, віднімання, множення і ділення, а також операції суперпозиції.

Зауважимо, що тут термін «елементарна» не означає проста. Неелементарні функції можуть бути набагато простішими, ніж елементарні. Наприклад функція

є елементарною (всі потрібні умови виконано). А функція

елементарною не є (вона задається різними виразами на різних інтервалах, а цього не передбачено в означенні елементарної функції). Неелементарними являються також, наприклад, функції (нескінченна кількість арифметичних дій), (відповідно ціла і дробова частина ), розглянута вище функція Діріхле та ін. До неелементарних відносяться також так звані спеціальні функції, які відіграють дуже важливу роль у природознавстві. Завдяки фізикам, в математику увійшли й функції більш складної природи – так звані узагальнені функції.

Елементарні функції розділяються на наступні основні класи.

1. Многочлени (або поліноми). Многочленом (поліномом) степеня називається функція вигляду:

.

Дійсні числа називаються коефіцієнтами многочлена. Зокрема, якщо , то . Якщо , то – лінійна функція. Якщо , то – квадратний тричлен.

2. Раціональні функції. Це функції, які є відношенням двох многочленів (не обов’язково однакового степеня):

.

Наприклад:

.

Зокрема, многочлени являються частинним випадком раціональних функцій ().

3. Ірраціональні функції Це функції, які утворюються за допомогою скінченного числа арифметичних дій та операцій суперпозиції з раціональних функцій та степеневих з раціональними показниками. Наприклад:

.

Раціональні та ірраціональні функції називаються алгебраїчними. Графіки цих функцій відповідно називаються алгебраїчними кривими. До них, зокрема, відносяться еліпс, гіпербола і парабола.

4. Трансцендентні функції. До цих функцій відносяться ті елементарні функції, які не є алгебраїчними. Це, зокрема, всі тригонометричні та обернені тригонометричні функції, а також показникові та логарифмічні.

Виділимо деякі важливі типи функцій (вони стосуються не лише елементарних функцій), з якими у подальшому нам доведеться мати справу.

1. Обмежені функції.

Означення. Функція називається обмеженою на множині , якщо таке, що .

Іншими словами значення обмеженої функції не виходять за межі відрізку . З геометричної точки зору це означає, що її графік цілком лежить між прямими (рис. 35).

 

 

 

Рис. 35.

Одна й та ж функція на одній множині може бути обмеженою, а на іншій ні. Наприклад, функція обмежена на відрізку (на ньому ) і взагалі на будь якому відрізку числової прямої, але не обмежена на всій числовій прямій. Функція обмежена на відрізку (тут ), але не обмежена на півінтервалі . Функція обмежена на всій числовій прямій ().

 

 

2. Монотонні функції.

Означення. Функція називається зростаючою (спадною) на множині , якщо таких, що , виконано нерівність .

Тобто для зростаючої функції більшому значенню аргументу відповідає і більше значення функції, а для спадної більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Означення. Функція називається неспадною (незростаючою) на множині , якщо таких, що , виконано .

Тобто для неспадної функції більшому значенню аргументу відповідає не менше значення функції, а для незростаючої – більшому значенню аргументу відповідає не більше значення функції.

Схематичні графіки цих функцій зображено на рис. 36 (а – зростаюча, б – спадна, в – неспадна, г – незростаюча).

Рис. 36 (а). Рис. 36 (б).

 

 

Рис. 36 (в). Рис. 36 (г).

 

 

Одна й та ж функція на одних ділянках числової прямої може бути зростаючою, а на інших спадною. Наприклад, функція спадна на і зростаюча на .

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі функції поєднуються терміном монотонні функції.

Як відмічалося в п. 16, функція має обернену тоді і тільки тоді, коли ця функція задає взаємно однозначну відповідність між множинами та . Таку властивість мають, зокрема, зростаючі та спадні функції. Дійсно, для зростаючої функції з нерівності випливає нерівність , а для спадної з нерівності випливає нерівність . Таким чином, будь яка строго монотонна функція має обернену. При цьому, якщо функція зростає (спадає), то обернена функція також зростає (спадає).

3. Парні та непарні функції.

Означення. Функція називається парною (непарною), якщо .

З означення випливає, що область визначення парної чи непарної функції обов’язково симетрична відносно точки . Графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 37 (а)), а непарної – відносно початку координат (рис. 37 (б)).

З основних елементарних функцій парними є, наприклад, , , , а непарними , , , .

 

 

 

Рис. 37 (а). Рис. 37 (б).

 

 

Не слід думати, що, якщо функція не є парною, то вона непарна. Існує скільки завгодно функцій, які не є ні парними, ні непарними. Наприклад тощо.

Для побудови графіка парної чи непарної функції достатньо побудувати її графік тільки у правій півплощині, а потім відобразити симетрично відносно осі (для парної функції), або відносно початку координат (для непарної функції).

4. Періодичні функції.

Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке , що виконано: .

Число називається періодом функції. Очевидно, що періодом буде також будь яке число виду . Найменший з додатних періодів називається основним періодом функції.

З основних елементарних функцій періодичними являються тригонометричні функції. Основний період функцій дорівнює , а функцій дорівнює .

Для побудови графіка функції, періодичної з періодом , достатньо побудувати його на будь якому проміжку довжини (наприклад, ), а потім продовжити графік на всю вісь, повторюючи його на кожному проміжку довжини . Якщо, крім того, функція парна, чи непарна, то достатньо побудувати її графік на відрізку .

 

 

18.Границя функції у точці та у нескінченності.

Однобічні границі.

Спробуємо тепер означення границі послідовності, яке було дано у п.9, узагальнити на випадок функції . Візьмемо деяку послідовність значень аргументу , яка збігається до числа , тобто . Тоді відповідно значення функції також будуть утворювати деяку послідовність

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для будь якої послідовності значень аргументу , такої, що , і , відповідна послідовність значень функції збігається до числа , тобто .

У цьому випадку ми пишемо:

.

Наведене означення називається означенням функції на мові послідовностей, або означенням Гейне. ^*

Існує ще одне означення границі функції, яке полягає у наступному. В п.8 ми інтуїтивно ввели поняття границі функції, як деякого числа , до якого «наближаються» (або, як кажуть у математиці, прямують) значення функції , якщо значення аргументу «наближаються» (прямують) до числа . Оскільки у нас з’явилися терміни «наближаються», «близько», треба ввести деяку міру цієї близькості, а саме міру близькості аргументу до числа і значення функції до числа . Позначимо першу з цих мір як . Це буде означати, що

, (18.1) тобто значення аргументу потрапляють в -окіл точки . Другу з цих мір позначимо як . Це буде означати, що

, (18.2) тобто значення функції потрапляють в -окіл точки . За рахунок чого може здійснитися друга нерівність? Очевидно, за рахунок достатнього ступеня близькості до , і цей ступінь близькості, очевидно, повинен залежати від . Іншими словами за заданим числом ми повинні знайти число , яке залежить від , таке, що виконання нерівності (18.1) забезпечує і виконання нерівності (18.2). Саме цей факт виражає наступне означення.

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для кожного додатного числа існує таке додатне число , яке залежить від , що для будь яких значень , що задовольняють нерівність , а також , виконано нерівність .

У цьому випадку пишемо: .

У символьній формі запису це означення має такий вигляд:

 

.

 

Саме таку форму ми будемо використовувати у подальшому.

Наведене означення називається означенням границі функції на мові «», або означенням Коші. Геометричну його ілюстрацію наведено на рис. 38. З нього видно, що якщо значення аргументу належать множині , тобто , то значення функції належать проміжку , тобто .

 

 

 

Рис. 38.

 

Теорема. Означення границі функції за Гейне та за Коші еквівалентні.

Доведення. Нехай у сенсі Коші. Тоді . Оберемо довільне і розглянемо довільну послідовність значень аргументу таку, що . Тоді для цього знайдеться номер такий, що виконано . А тоді . Таким чином вийшло, що виконано: . Це означає, що , тобто в сенсі Гейне.

Нехай тепер в сенсі Гейне. Покажемо, що число є границею функції в сенсі Коші. Припустимо, що це не так. Тоді : . Побудуємо послідовність значень аргументу таку, що . Тоді , тобто:

,

.

В той же час:

: .

Якщо у якості взяти , то отримуємо протиріччя. Отже в сенсі Коші.

Теорему доведено.

Приклади.

1. Доведемо, що . Використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо:

.

Нехай тепер . Тоді . Вимагатимемо, щоб останній вираз був менше, ніж (тоді тим більш буде менше, ніж ), тобто . Розв’язком цієї квадратної нерівності (враховуючи, що ) є інтервал . Таким чином, якщо ми оберемо (тобто за заданим знайшли ), то забезпечимо виконання нерівності . У якості можна взяти будь яке число з інтервалу , наприклад .

2. Довести, що .

Знову використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо :

.

Якщо , то, обираючи (наприклад ), забезпечуємо виконання нерівності , що й треба було встановити.

3. Доведемо, що функція не має ніякої границі при . Скористаємось тепер означенням Гейне. Розглянемо послідовність , де . Очевидно, що . В той же час: .

Тепер розглянемо іншу послідовність , де . Знову . Але цього разу .

Отже, для двох різних послідовностей значень аргументу, прямуючих до нуля, відповідні послідовності значень функції мають різні границі – 0 і 1. І тоді, згідно з означенням Гейне, наша функція не має границі при .

Вище ми вже відмічали, що не слід змішувати поняття границі функції у точці і значення функції у цій точці. Саме тому в означенні границі функції є суттєва умова: треба, щоб було ; або, що те ж саме, . Приклад 2 показує, що границя може існувати і тоді, коли функція взагалі не визначена у точці , Але, навіть у тому випадку, коли функція визначена у точці , її границя у цій точці зовсім не обов’язково дорівнює значенню функції у цій точці. Розглянемо детальніше приклад з п.8.

Доведемо, що . Задамо і розглянемо для будь яких :

тобто у якості можна взяти будь яке додатне число. Разом з цим .

Може бути і така ситуація, коли функція визначена у точці , а границі функції у цій точці не існує. Розглянемо, наприклад, функцію:

Ця функція визначена у точці , а границі у цій точці не існує (див. приклад 3).

В наведених означеннях границі функції значення аргументу прямувало до скінченого числа . Але ці значення можуть прямувати і до нескінченності (саме така ситуація спостерігається, наприклад, тоді, коли у якості функції розглядається послідовність). Тоді означення функції приймає наступний вид:

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь якого числа існує таке число , що з нерівності випливає нерівність .

Тоді пишемо:

.

Це означення за змістом близько до означення границі послідовності, тому особливих пояснень не вимагає.

Сама границя функції теж може бути нескінченною.

Означення. Кажуть, що границя функції при дорівнює нескінченності, якщо для будь якого додатного числа існує таке додатне число , що виконання з нерівності випливає нерівність .

Тоді пишемо: .

Тобто за рахунок достатньої близькості аргументу до числа значення функції може бути зроблено за модулем більшим, ніж будь яке наперед задане число .

У цьому випадку функція називається нескінченно великою у точці .

Приклад. Довести, що функція є нескінченно великою у точці .

Задамо довільне і розглянемо:

.