Зліченні множини та їх властивості.

 

Означення. Множина називається зліченною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.

Тобто елементи зліченної множини можна перенумерувати. Приклади 1, 2 з попереднього параграф показують, що множини парних та непарних натуральних чисел – зліченні.

Теорема. Множина цілих чисел – зліченна.

Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множинами та наступним чином:

.

Тим самим зліченність множини доведено.

Зліченні множини мають наступні властивості.

Властивість 1. Будь яка нескінченна множина має зліченну підмножину.

Доведення. Нехай – довільна нескінченна множина. Оберемо який-небудь елемент з множини і позначимо його . В множині залишиться ще нескінченна кількість елементів. Оберемо ще один елемент, позначимо його . Цей процес можна продовжувати необмежено – після кожного обирання елементу з множини у цій множині буде залишатися ще нескінченна кількість елементів. У наслідку отримаємо зліченну множину:

, яка є підмножиною множини . Властивість 1 доведено.

З цієї властивості випливає, що зліченна множина є «найменшою» серед нескінченних множин. Тобто, якщо множина нескінченна, то вона принаймні зліченна.

Властивість 2. Об’єднання зліченної та скінченної множини є множина зліченна.

Доведення. Нехай – зліченна множина. Тоді її елементи можна перенумерувати, і цю множину подати у вигляді:

.

Нехай – скінченна множина:

.

Запишемо множину наступним чином:

.

Тепер легко встановити взаємно однозначну відповідність між множинами і :

.

Отже – зліченна множина.

Властивість 3. Об’єднання двох зліченних множин є множина зліченна.

Доведення. Нехай і – зліченні множини:

, .

Запишемо так:

.

Тепер легко встановити взаємно однозначну відповідність між множинами і :

.

Отже – зліченна множина.

Властивість 4. Об’єднання скінченного числа зліченних множин є множина зліченна.

Доведення здійснимо методом математичної індукції. Нехай – зліченні множини. Якщо , то твердження справедливе (властивість 3). Припустимо, що твердження справедливе для , тобто множина – зліченна. Покажемо, що твердження справедливе для , тобто множина – зліченна. Дійсно: – зліченна множина (на підставі властивості 3).

Властивість 5. Об’єднання зліченного числа зліченних множин є множина зліченна.

Доведення. Розглянемо зліченні множини:

,

,

,

…

,

…

Запишемо об’єднання наступним чином:

.

У кожній групі, що взята у дужки, виписуються елементи, сума індексів яких дорівнює номеру групи, збільшеному на 1. З цього видно, що дана множина зліченна. Дійсно:

 

Пропонована нумерація має просту геометричну інтерпретацію:

 

 

Наслідок. Множина раціональних чисел зліченна.

Доведення. Доведемо спочатку зліченність множини додатних раціональних чисел. Кожне з таких чисел має вигляд , де . Випишемо спочатку всі такі числа, знаменник яких дорівнює 1, потім всі, знаменник яких дорівнює 2, тощо:

 

 

 

 

 

...

 

 

…

 

Деякі числа будуть повторюватись (наприклад, тощо). Застосовуючи метод, який було використано при доведенні властивості 5, і, викреслюючи скоротні дроби, отримаємо зліченність множини додатних раціональних чисел. Зліченність множини від’ємних раціональних чисел доводиться аналогічно. Множина всіх раціональних чисел є об’єднанням множин додатних раціональних чисел, множини від’ємних раціональних чисел і множини . На підставі властивостей 2 і 3 отримаємо зліченність множини всіх раціональних чисел.

 

 

Потужність континууму.

 

Не всі нескінченні множини є зліченними. Покажемо, що, наприклад, множина дійсних чисел, що лежать в інтервалі , зліченною не є.

Теорема. Множина дійсних чисел з інтервалу не є зліченною.

Доведення. Кожне дійсне число з інтервалу може бути записано у вигляді десяткового дробу, періодичного або неперіодичного. Тобто має вигляд:

, де хоча б одна з цифр відмінна від нуля. Дійсно, якщо всі нулі, то отримаємо число 0, яке до інтервалу не входить. Будемо вважати також, що період десяткового дробу відмінний від 9, щоб уникнути неоднозначності в запису числа. Наприклад: .

Доведемо теорему методом від протилежного. Припустимо, що дійсні числа з інтервалу є зліченною множиною. Тоді між дійсними числами інтервалу і натуральними числами існує взаємно однозначну відповідність. Нехай числу відповідає число . Побудуємо число , де . Таке число не співпадає з жодним з чисел , оскільки відрізняється від нього принаймні однією цифрою (). Але – також дійсне число з інтервалу , та йому не відповідає натуральне число. Ми прийшли до протиріччя. Отже множина дійсних чисел з інтервалу (0,1) не є зліченною.

Означення. Будь яка множина, рівнопотужна множині дійсних чисел з інтервалу (0,1), називається множиною потужності континуума (від лат. continuum – неперервність).

Такі множини, на відміну від зліченних множин, складаються не з дискретної множини точок, а є об’єднанням суцільних інтервалів або областей.

З розглянутих у п. 5 прикладів випливає, що множина точок будь якого відрізку або інтервалу, множина точок всієї числової прямої (а отже множина дійсних чисел ) мають потужність континууму. Потужність континууму мають також множина точок площини, простору.

Цікаве питання – чи існують множини, потужність яких була б проміжною між зліченністю та континуумом? Існує гіпотеза, яка полягає в тому, що таких множин нема. Ця гіпотеза називається гіпотезою континууму.