Неперервність елементарних функцій.

 

Розглянемо питання про неперервність елементарних функцій. Як ми знаємо, це функції, які утворено з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій та операцій суперпозиції. Отже, якщо ми доведемо, що всі основні елементарні функції неперервні в своїй області визначення, то тим самим доведемо, що елементарні функції також неперервні в своїй області визначення.

1. Степенева функція з натуральним показником. Функція неперервна на , оскільки при для будь якого . Тому функція неперервна на як добуток скінченного числа неперервних функцій. Оскільки функція , де – стала, неперервна на (), то функція , де , також неперервна на , а звідси випливатиме, що многочлен степеня

є неперервною на функцією (як сума скінченного числа неперервних функцій).

Раціональна функція

, де – многочлени степеня і відповідно, неперервна як частка двох неперервних функцій в усіх точках множини , які не є коренями многочлена . Тобто в усіх точках, де функція визначена.

2. Степенева функція з раціональним показником. Розглянемо функцію , де . Якщо , і непарне, то функція неперервна та зростаюча на , отже має обернену функцію , яка також неперервна та зростаюча на . Нехай тепер , і парне. Розглянемо «звужену» функцію , яку визначено лише на множині . Тоді така функція має обернену функцію , яка визначена і неперервна на множині .

Функція , , також має обернену – це функція .

Розглянемо тепер степеневу функцію з цілим від’ємним показником, тобто функцію , . Вона визначена і неперервна на множині . При () ця функція оборотна на множині , а при () оборотна на множинах та .

Нехай тепер , де . За означенням:

, .

Функція неперервна і зростаюча на . Функція неперервна на , зростаюча при і спадна при . Тому функція неперервна на , зростаюча, якщо і спадна, якщо .

Враховуючи неперервність раціональних функцій в їх області визначення, тепер можна стверджувати, що ірраціональні функції також неперервні в їх області визначення. Отже алгебраїчні функції неперервні в їх області визначення.

3. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції.

Лема. Для виконано:

. (24.1)

Доведення. Доведемо це співвідношення спочатку для . Виконаємо наступну геометричну побудову (рис. 48).

 

 

 

Рис. 48.

 

Побудуємо коло з центром у початку координат і радіусом 1. Проведемо радіус цього кола під кутом (в радіанах) до додатного напряму осі абсцис, причому продовжимо його за коло.

Через точку проведемо пряму, перпендикулярну осі абсцис (дотичну до кола). Точку перетину цієї прямої і продовження радіусу позначимо через . Тоді площа трикутника буде дорівнювати , площа сектора дорівнює , а площа трикутника дорівнює . Очевидна подвійна нерівність:

 

.

Або:

, тобто

.

Оскільки тут , то поділивши на , матимемо:

.

Або:

.

Оскільки функції та парні, то співвідношення (24.1) виконано й для .

Лема. виконано:

. (24.2)

Доведення. Якщо , то нерівність (24.2) виконано. Нехай . Якщо , то з (24.1) маємо:

, з чого одразу випливає (24.2). Оскільки функція парна, то нерівність (24.2) виконується при . А якщо , то також виконується, оскільки і .

Теорема. Функції , неперервні на .

Доведення. Нехай . Надамо значенню приріст і розглянемо відповідний приріст функції :

.

Звідси і з нерівності (24.2) маємо:

, отже при , тобто функція неперервна в точці , а внаслідок довільності це означає, що функція неперервна на всій числовій прямій.

Функція неперервна на як суперпозиція двох неперервних функцій: .

Теорему доведено.

Наслідок 1. Функція неперервна на множині , а функція неперервна на множині .

Дійсно, функція неперервна як частка двох неперервних функцій в усіх точках множини , крім тих, де функція дорівнює нулю, а саме . Функція неперервна в усіх точках множини , крім тих, де функція дорівнює нулю, а саме .

Наслідок 2. Функція , неперервна як обернена до функції на відрізку (див. п. 16). Функція , неперервна як обернена до функції на відрізку . Функція неперервна на як обернена до функції на інтервалі . Функція неперервна на як обернена до функції на інтервалі .

4. Показникова та логарифмічна функції. Доведемо, що функція неперервна на . Розглянемо спочатку випадок . Нехай . Надамо значенню приріст і розглянемо:

.

Якщо ми доведемо, що , то виконуватиметься , тобто функція неперервна .

Скористаємось рівністю (див. п.10, приклад 2):

.

Звідси випливає, що й

.

А тоді таке, що

.

Якщо тепер , тобто , то, оскільки при функція зростаюча, матимемо:

, звідки

,

або

, звідки внаслідок довільності випливає, що .

Отже, внаслідок довільності , функція при неперервна на .

Нехай тепер . Тоді , і

.

Оскільки функція за доведеним вище неперервна, і , то функція неперервна на як частка двох неперервних функцій.

Функція при неперервна на як обернена до неперервної та зростаючої функції , а при – неперервна на як обернена до неперервної та спадної функції .

Таким чином ми довели, що всі основні елементарні функції неперервні в їх області визначення. Звідси випливає твердження.

Всі елементарні функції неперервні в їх області визначення.