Диференціювання функції комплексної змінної

1. Означення похідної. Умови Коші–Рімана. Похідною від функції комплексної змінної називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля:

(1.1)

Тут важливим є те, що ця величини не повинна залежати від способу прямування приросту аргументу до нуля.

Теорема 1.3. Якщо функція є диференційованою в точці , то тоді в точці існують частинні похідні функцій та по змінних x, і y, причому мають місце наступні співвідношення:

, . (1.2)

Доведення: За умовами теореми існує границя (1.1), яка не залежить від способу прямування до нуля.

Припустимо, що (прямування здійснюється вздовж осі ), тоді:

.

З існування границі даного комплексного співвідношення випливає, що існують і границі відповідно його дійсної і уявної частини. Тому в точці існують частинні похідні по змінних x, і y від функції та , і має місце формула:

, де , .

Припускаючи, що (прямування здійснюється вздовж осі ), знаходимо:

=

= .

Справедливими є обидві формули для , отже переконуємось у справедливості співвідношень (1.2).

Теорема 1.4. Якщо в точці функції , диференційовані, а їх частинні похідні зв'язані співвідношенням (1.2), то функція є диференційованою функцією комплексної змінної z в точці (без доведення).

Функція є аналітичною в деякій області G, якщо в кожній точці цієї області функція є диференційована, а її похідна є неперервною в цих точках.

Для того, щоб перевірити функцію на аналітичність, потрібно переконатись що для її дійсної та уявної частини виконуються умови Коші – Рімана і частинні похідні від функцій , по x, y є неперервними.

2. Властивості аналітичних функцій.

1⁰ Нехай функції і є аналітичними в деяких областях z є G₁, і z є G₂, тоді , , є аналітичними в , а є теж аналітичною , за винятком точок, в яких перетворюється в нуль.

2⁰ Функція складена з аналітичних функцій є аналітичною.

3⁰Якщо пряма функція є аналітичною при z є G, то обернена функція є теж аналітичною функцією, за винятком точок, в яких модуль похідної функції рівний нулю .

4⁰ Якщо відомою є дійсна частина аналітичної функції, то уявну частину цієї функції можна знайти з точністю до константи і, навпаки, якщо відома уявна частина цієї функції то її дійсну частину можна знайти з точністю до константи.

5⁰ Якщо U і V є дійсною і уявною частинами аналітичної функції то .

, де та – одиничні вектори, тобто:

.

3. Геометричний зміст похідної. Нехай функція є аналітичною функцією в деякій області . Виберемо деяку точку і проведемо через неї довільну криву , яка повністю лежить в області . Функція здійснює відображення області комплексної площини на деяку область комплексної площини . Нехай точка переходить в точку , а крива в криву , що проходить через точку (Рис.3). За умови, що існує похідної функції в точці . Припустимо, що і представимо комплексне число в показниковій формі:

. (1.4)

Виберемо такий спосіб прямування до нуля при якому точки лежать на кривій . Очевидно, що відповідні їм точки лежать на кривій . Комплексні числа і відображаються векторами січних до кривих та відповідно. Зазначимо, що і мають геометричній зміст кутів відповідних векторів зі додатними напрямками осей та , а і представляють собою довжини цих векторів. При вектори січних переходять у вектори дотичних до відповідних кривих. Із (1.4) випливає, що , тобто аргумент похідної має геометричний зміст різниці кута вектора дотичної до кривої в точці з віссю і кута вектора дотичної до кривої в точці з віссю (Рис.3).

Рис. 3.

Так, як похідна не залежить від способу граничного переходу, то ця різниця буде тією ж для довільної іншої кривої, яка проходить через точку (хоча значення кутів та можуть змінюватися). Звідси випливає, що при відображенні, що здійснюється аналітичною функцією , що задовольняє умову , кут між довільними кривими і , які перетинаються в точці , дорівнюють куту між їх образами (кривими і ), що пересікаються в точці . Ця властивість даного відображення носить назву властивості збереження кутів. Аналогічно із співвідношення (1.4) отримаємо:

.

З точністю до величин більш високого порядку малості має місце рівність . Геометричний зміст цього співвідношення полягає в тому, що при відображенні, що здійснюється аналітичною функцією за умови, що , безмежно малий лінійний елемент перетворюється подібним чином, причому визначає коефіцієнт перетворення подібності. Ця властивість даного відображення носить назву властивості постійного розтягу.

Відображення околу точки на окіл точки , яка здійснюється аналітичною функцією і існуюча в точці властивість збереження кутів та постійна властивість розтягу, називається конформним відображенням.