Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної

Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної

§ 1 Комплексні числа і дії над ними

1. Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами. Комплексним числом z називається впорядкованих пара дійсних чисел , над якими задані такі дії:

а) додавання: сумою двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

б) множення: добутком двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

в) порівняння: два комплексні числа та рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні та уявні частини, тобто коли і .

Перше число a пари називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається через a = Re z, число b називається уявною частиною комплексного числа z, і позначається через b = Im z.

– двовимірна форма запису комплексного числа;

Зручною є алгебраїчна форма комплексного числа: , де і – уявна одиниця, тобто . , , , …. Число називають комплексно спряженим числом до числа .

Слід зауважити, що нерівностей комплексних чисел не існує.

Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі:

;

;

.

2. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Введемо перш за все поняття комплексної площини. Комплексна площина — це площина із осями декартової системи координат, де вздовж вісі абсцис відкладається дійсна частина комплексного числа і її відповідно називають дійсною віссю, а вздовж вісі ординат –уявна частина комплексного числа, її називають уявною віссю (див. рис.1).

Рис. 1 Комплексна площина.

Отже, на комплексній площині комплексні числа зображуються точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).

– тригонометрична форма запису комплексного числа;

– дійсна частина комплексного числа;

– уявна частина комплексного числа;

– модуль комплексного числа , – аргумент комплексного числа , при і , при . Геометричний зміст модуля комплексного числа – це відстань від початку координат до точки на комплексній площині, що зображує дане комплексне число. Геометричний зміст аргументу комплексного числа полягає в тому, що це кут між додатною віссю ox і вектором проведеним від початку координат до точки z, що зображує дане комплексне число. .

Використовуючи формулу Ейлера: , отримаємо показникову форму запису комплексного числа: .

При додаванні (відніманні) доцільно використовувати алгебраїчну форму або двовимірну форму комплексного числа, а при множенні чи діленні чи – показникову форму:

;

.

3. Добування кореня із комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа є зручними при розгляді таких арифметичних операцій як піднесення комплексного числа до цілої додатної степені та добування кореня з комплексного числа.

Піднесення до степеня комплексного числа, означає наступне: . Комплексне число називається коренем n-ї степені із комплексного числа z, якщо . Добування кореня із комплексного числа здійснюється за допомогою формули Муавра:

, де к = 0, 1, 2, … n-1.

При , , …, повторюються значення, що відповідають тому достатньо обмежитись найбільшим значенням .

Приклад: добути корінь з комплексного числа .

, ,

;

.

Рис. 2 Добування кореня з комплексного числа.

Обчислення аргументу комплексного числа:

1) z – число дійсне і додатне, тобто , (, );

2) z – число уявне і додатне, , (, );

3) z – число дійсне і від’ємне, , (, );

4) z – число уявне і від’ємне, , (, );

5) аргумент числа z = 0 є невизначеним.

, – права півплощина;

, – ліва півплощина.

 

Інтеграл Коші

1. Виведення формули Коші. Нехай функція є аналітичною в однозв'язній області , яка обмежена контуром . Візьмемо довільну точку і побудуємо замкнутий контур , який повністю лежить в і всередині якого лежить точка . Розглянемо допоміжну функцію:

. ( 1.9 )

Функція , очевидно, є аналітичною функцією у всіх точках області , за виключенням точки . Тому, якщо ми в області візьмемо деякий замкнутий контур , який лежить в середині , і так щоб точка попала в середину області, яка обмежена контуром , то функція буде аналітичною в двозв'язній області , яка є замкнутою між контурами і . Згідно з теоремою Коші інтеграл від по кривій рівний нулю:

.

Змінивши напрямок інтегрування в другому інтегралі, цю рівність можна переписати у вигляді:

. (1.10)

Оскільки інтеграл, що знаходиться зліва, не залежить від вибору контуру , то цією властивістю володіє і інтеграл, що знаходиться справа співвідношення (1.10). В подальшому, для зручності розглянемо в якості контуру інтегрування коло з радіусом і центром в точці (Рис.5).

Рис. 5.

Підставивши , то отримаємо:

.

Інтеграл справа перетворимо так:

. (1.11)

Спрямуємо до нуля. Так, як аналітична, а відповідно є неперервною функцією в області , то для довільного числа можна поставити таке значення , що , для . Звідси випливає, що при існує границя:

.

Так, як у формулі (1.11) останній доданок не залежить від то , а відповідно, , то згідно (1.10):

. (1.12)

Інтеграл, що стоїть у правій частині формули (1.12), виражає значення аналітичної функції в деякій точці через її значення на довільному контурі , який лежить в області аналітичності функції і всередині якого розміщена точка . Цей інтеграл і називається інтегралом Коші. Формула (1.12) називається формулою Коші.

 

 

Степеневі ряди. Ряд Тейлора

1. Теорема Абеля. Ряд вигляду (2.4) називають степеневим рядом, де – деяка фіксована точка, – коефіцієнти ряду, – елементи функціонального ряду.

Теорема Абеля. Нехай в точці степеневий ряд (2.4) є збіжним і , тоді цей ряд буде збіжним і для всіх точок , які задовольняють умові: , причому в крузі радіусом даний ряд буде рівномірно збіжним (без доведення).

Із теореми Абеля випливають такі наслідки:

1) якщо в деякій точці степеневий ряд (2.4) є розбіжним, то він буде розбіжним для всіх точок , які задовольняють умові ;

2) кожний степеневий ряд (2.4) має свій радіус збіжності ;

3) в середині круга збіжності радіусом сума ряду (2.4) є аналітичною функцією:

;

4) всередині круга збіжності радіусом ряд (2.4) можна почленно диференціювати та інтегрувати;

5) коефіцієнти ряду (2.4) можна виразити через його суму (тобто через функцію ):

, , , …, ;

6) вирази для знаходження радіусу збіжності степеневого ряду (2.4):

, .

2. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Нехай функція є аналітичною у крузі радіусом , , тоді ця функція може бути подана у вигляді степеневого ряду , причому такий ряд буде збіжним, а подання у вигляді цього ряду є однозначним, оскільки характеризується єдиним набором коефіцієнтів.

Доведення: Запишемо , (2.5)

, (2.6)

, , (2.7)

Підставивши (2.6) і (2.7) у (2.5) отримаємо:

.

Це означає, що функцію можна подати у вигляді степеневого ряду (2.4) єдиним чином. Тобто існує єдиний набір коефіцієнтів ряду С_0, С_1, С₂… для заданої функції.

 

Аналітичне продовження

Суть аналітичного продовження полягає в тому, якщо ми знаємо значення функції в деякій частині області аналітичності цієї функції, то ми можемо продовжити цю функцію (аналітично) на решту області аналітичності цієї функції.

Частинний випадок: нехай ми маємо деяку функцію дійної змінної , яка є заданою на деякому проміжку . Вважаючи, що є значення функції , де , то ми можемо аналітично продовжити цю функцію на комплексну площину. На підставі сказаного випливає, що така функція може бути тільки одна.

Аналітичне продовження з дійсної вісі на комплексну площину, доцільно назвати так само.

Властивості і співвідношення для функцій дійсної змінної переносяться на функції комплексної змінної завдяки тому, що аналітичне продовження є єдиним.

Приклад: довести, що :

.

Отже співвідношення, які існують для функцій дійсної змінної переносяться для функцій комплексної змінної, причому в тому ж самому вигляді. Це дає змогу перейти зокрема від диференціальних рівнянь стосовно функцій дійсної змінної до диференціальних рівнянь стосовно комплексної змінної, що в свою чергу може спростити процес розв'язування рівнянь.

 

Ряд Лорана

1. Означення і область збіжності ряду Лорана. Сума вигляду (2.6) називається рядом Лорана. Для з'ясування області збіжності цього ряду розглянемо його у вигляді двох сум:

.

Користуючись теоремою Абеля, з'ясовуємо, що частина ряду має область збіжності внутрішню частину круга радіусом . Розглянемо іншу частину ряду і введемо заміну , та отримаємо: . Даний ряд є степеневим із додатними степенями , тому його збіжність буде також реалізуватись всередині круга радіусом .

,

Якщо об'єднати обидва співвідношення, для збіжності ряду Лорана, необхідно, щоб одночасно виконувались обидві умови:

.

2. Подання аналітичної функції у вигляді ряду Лорана. Теорема: Нехай функція є аналітичною у круговому кільці , тоді вона може бути подана у вигляді ряду Лорана, причому таке подання буде однозначним:

.

Доведення: Розглянемо деяку точку з середини кругового кільця і оточимо двома колами, а саме внутрішнім і зовнішнім , , причому і , та запишемо інтеграл Коші по кривих, які співпадають із колами , :

.

Розглянемо другий доданок: :

, , то відповідно:

,

Розглянемо перший доданок: :

,

, , то відповідно:

 

.

Якщо об'єднати два доданки, то ми можемо записати єдиний вираз для коефіцієнтів ряду Лорана:

, де – довільний контур у коловому кільці.

Отже, якщо функція є аналітичною в деякому круговому кільці, то її можна єдиним чином подати у вигляді ряду Лорана, у випадку коли .

 

Розділ №3. Теорія лишків

Таблиця зображень деяких функцій

1) , ;

2) , , ;

3) , – натуральне, ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , .

Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної

§ 1 Комплексні числа і дії над ними

1. Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами. Комплексним числом z називається впорядкованих пара дійсних чисел , над якими задані такі дії:

а) додавання: сумою двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

б) множення: добутком двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

в) порівняння: два комплексні числа та рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні та уявні частини, тобто коли і .

Перше число a пари називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається через a = Re z, число b називається уявною частиною комплексного числа z, і позначається через b = Im z.

– двовимірна форма запису комплексного числа;

Зручною є алгебраїчна форма комплексного числа: , де і – уявна одиниця, тобто . , , , …. Число називають комплексно спряженим числом до числа .

Слід зауважити, що нерівностей комплексних чисел не існує.

Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі:

;

;

.

2. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Введемо перш за все поняття комплексної площини. Комплексна площина — це площина із осями декартової системи координат, де вздовж вісі абсцис відкладається дійсна частина комплексного числа і її відповідно називають дійсною віссю, а вздовж вісі ординат –уявна частина комплексного числа, її називають уявною віссю (див. рис.1).

Рис. 1 Комплексна площина.

Отже, на комплексній площині комплексні числа зображуються точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).

– тригонометрична форма запису комплексного числа;

– дійсна частина комплексного числа;

– уявна частина комплексного числа;

– модуль комплексного числа , – аргумент комплексного числа , при і , при . Геометричний зміст модуля комплексного числа – це відстань від початку координат до точки на комплексній площині, що зображує дане комплексне число. Геометричний зміст аргументу комплексного числа полягає в тому, що це кут між додатною віссю ox і вектором проведеним від початку координат до точки z, що зображує дане комплексне число. .

Використовуючи формулу Ейлера: , отримаємо показникову форму запису комплексного числа: .

При додаванні (відніманні) доцільно використовувати алгебраїчну форму або двовимірну форму комплексного числа, а при множенні чи діленні чи – показникову форму:

;

.

3. Добування кореня із комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа є зручними при розгляді таких арифметичних операцій як піднесення комплексного числа до цілої додатної степені та добування кореня з комплексного числа.

Піднесення до степеня комплексного числа, означає наступне: . Комплексне число називається коренем n-ї степені із комплексного числа z, якщо . Добування кореня із комплексного числа здійснюється за допомогою формули Муавра:

, де к = 0, 1, 2, … n-1.

При , , …, повторюються значення, що відповідають тому достатньо обмежитись найбільшим значенням .

Приклад: добути корінь з комплексного числа .

, ,

;

.

Рис. 2 Добування кореня з комплексного числа.

Обчислення аргументу комплексного числа:

1) z – число дійсне і додатне, тобто , (, );

2) z – число уявне і додатне, , (, );

3) z – число дійсне і від’ємне, , (, );

4) z – число уявне і від’ємне, , (, );

5) аргумент числа z = 0 є невизначеним.

, – права півплощина;

, – ліва півплощина.