Інтеграли по комплексній змінній

1. Означення та основні властивості. Нехай на комплексній площині задана кусково-гладка крива кінцевої довжини . Використовуючи параметричне представлення кривої , заданим координатам і кожної її точки рівність , , де і кусково-гладкі функції дійсного параметра , який змінюється в межах ( і можуть відповідно набувати значення ± ), що задовольняють умову . Задання координат , точок цієї кривої еквівалентне заданню комплексної функції дійсної змінної .

Нехай в кожній точці кривої визначено значення функції . Розіб’ємо криву на частинних дуг точками ділення , що відповідають зростаючим значенням параметру (). Введемо позначення та складемо суму:

, (1.5)

де – деяка точка і-той частинної дуги.

Якщо при існує границя сум (1.5), яка не залежить від способу розбиття кривої та вибору внутрішніх точок , то ця границя називається інтегралом від функції по кривій і позначається як:

. (1.6)

Записавши, що , , де – точка кривої на площині , ми можемо представити (1.5) вираження у вигляді:

.

. (1.7)

Властивості інтегралів по комплексній змінній:

1⁰ ;

2^{0 ;}

3⁰ ;

4⁰ , де – елемент довжини дуги;

5⁰ , де ;

6⁰ .

2. Теорема Коші. Оскільки значення контурного інтегралу залежить від напрямку інтегрування, домовимось в якості додатного напрямку обходження контуру брати напрям, при якому внутрішня область обмежена даним контуром, залишається зліва при обході контуру. Інтегрування в додатному напрямку будемо позначати через символ або просто , а інтегрування у від’ємному напрямку через – . Властивості інтегралів по замкнутому контуру від аналітичних функції всередині області, що обмежена даним контуром визначаються відомими властивостями криволінійних інтегралів першого роду. Як відомо для криволінійних інтегралів по замкнутому контурі має місце наступне твердження: якщо функції і неперервні в замкнутій області , яка обмежена кусочно гладким контуром , а їх частинні похідні першого порядку неперервні в області , то:

. (1.8)

Теорема 1.5 (теорема Коші). Нехай в однозв'язній області задана аналітична функція . Тоді інтеграл від цієї функції по довільному замкнутому контуру , що повністю лежить в цій області, рівний нулю.

Доведення: Згідно з формулою (1.7):

.

Так як функція аналітична всюди всередині конура , то функції та в області, яка є обмежена цим контуром, володіють неперервними частинними похідними першого порядку. Тому до криволінійних інтегралів, що стоять зліва можна застосувати формулу (1.8):

,

,

що і треба було довести.

Теорема 1.6 (друге формулювання теореми Коші). Якщо функція є аналітичною функцією в однозв'язній області , яка обмежена кусково-гладким контуром і неперервна в замкнутій області , то інтеграл від даної функції по границі області рівний нулю (без доведення).

Теорема 1.7 (третє формулювання теореми Коші). Нехай функція є аналітичною функцією в багато зв'язній області , яка обмежена ззовні контуром , а в середині контурами і нехай функція неперервна в замкнутій області , тоді , де повна границя області , що складається з контурів , причому обхід границі здійснюється в додатному напрямку.

Доведення: Проведемо гладкі криві , що з'єднують контур зі контурами (Рис. 4). Тоді область, що обмежена кривими та кривими , що проходять два рази в протилежних напрямках, виявляється однозв'язною. В силу теореми 1.6 інтеграл по границі цієї області рівний нулю .

Рис. 4.

3. Невизначений інтеграл. Важливим наслідком теореми Коші є наступне положення. Нехай функція є аналітичною функцією в однозв'язній області . Фіксуємо в цій області деяку точку і позначимо через інтеграл по довільній кривій, що повністю лежить в області і з'єднує точки і . В силу теореми Коші цей інтеграл не залежить від вибору кривої інтегрування в області і є однозначною функцією :

.

Теорема 1.8. Нехай функція є визначеною і неперервною в деякій області , а інтеграл від цієї функцією по будь-якому контуру , який повністю лежить в даній області, рівний нулю. Тоді функція () є аналітичною функцією в області і (без доведення).

. (1.9)

(1.9) – формула Ньютона – Лейбніца. Це за умови, що – не виходить за межі області аналітичності функції.

 

Інтеграл Коші

1. Виведення формули Коші. Нехай функція є аналітичною в однозв'язній області , яка обмежена контуром . Візьмемо довільну точку і побудуємо замкнутий контур , який повністю лежить в і всередині якого лежить точка . Розглянемо допоміжну функцію:

. ( 1.9 )

Функція , очевидно, є аналітичною функцією у всіх точках області , за виключенням точки . Тому, якщо ми в області візьмемо деякий замкнутий контур , який лежить в середині , і так щоб точка попала в середину області, яка обмежена контуром , то функція буде аналітичною в двозв'язній області , яка є замкнутою між контурами і . Згідно з теоремою Коші інтеграл від по кривій рівний нулю:

.

Змінивши напрямок інтегрування в другому інтегралі, цю рівність можна переписати у вигляді:

. (1.10)

Оскільки інтеграл, що знаходиться зліва, не залежить від вибору контуру , то цією властивістю володіє і інтеграл, що знаходиться справа співвідношення (1.10). В подальшому, для зручності розглянемо в якості контуру інтегрування коло з радіусом і центром в точці (Рис.5).

Рис. 5.

Підставивши , то отримаємо:

.

Інтеграл справа перетворимо так:

. (1.11)

Спрямуємо до нуля. Так, як аналітична, а відповідно є неперервною функцією в області , то для довільного числа можна поставити таке значення , що , для . Звідси випливає, що при існує границя:

.

Так, як у формулі (1.11) останній доданок не залежить від то , а відповідно, , то згідно (1.10):

. (1.12)

Інтеграл, що стоїть у правій частині формули (1.12), виражає значення аналітичної функції в деякій точці через її значення на довільному контурі , який лежить в області аналітичності функції і всередині якого розміщена точка . Цей інтеграл і називається інтегралом Коші. Формула (1.12) називається формулою Коші.