Існування похідних всіх порядків аналітичної функції

1. Узагальнена формула Коші. Нехай дано функції та :

, (1.13)

де точка перебуває всередині контуру

. (1.14)

Маючи неповну інформацію про функцію , а саме її значення на деякій замкнутій кривій , ми можемо за допомоги формули (1.14) відновити цю функцію всередині деякої області , яка обмежена кривою .

Із (1.14) видно, що інтеграл який стоїть справа є аналітичною функцією змінної з області . Диференціюємо (1.14) по змінній :

. (1.15)

З (1.15) видно, що інтеграл справа є теж аналітичною функцією, тому ми можемо знову диференціювати співвідношення (1.15):

…

(1.16), де

Аналітичну функцію можна безліч раз диференціювати по її змінній . Аналітичною є функція, яка є безліч раз диференційованою в деякій області . Формула (1.16) називається узагальненою формулою Коші.

Розділ №2. Ряди аналітичних функцій

Рівномірно збіжні функціональні ряди

1. Числові ряди. Сума вигляду (2.1) називається комплексним числовим рядом. Ряд (2.1) називається збіжним, якщо збігаються послідовності його частинних сум . При цьому границя послідовності називається сумою ряду (2.1).

Необхідною умовою збіжності ряду (2.1) є умова .

Згідно з ознакою Даламбера ряд вигляду (2.2) є збіжним, якщо, починаючи з деякого номеру , відношення , для всіх , а якщо починаючи з деякого номеру співвідношення , то ряд (2.1) з комплексними членами розбігається.

Згідно з ознакою Коші ряд (2.2) збігається, якщо , для всіх . Якщо ж починаючи з деякого номеру для всіх має місце відношення , то ряд (2.1) розбігається.

2. Рівномірно збіжні функціональні ряди. Сума вигляду: (2.3) називається функціональним рядом.

, де є сумою даного ряду.

Якщо члени функціонального ряду є мажорованими членами збіжного числового ряду, то даний функціональний ряд (2.3) є рівномірно збіжним.

Якщо (2.3) містить функції, які є аналітичними, і ряд є рівномірно збіжним, то його можна почленно диференціювати і інтегрувати:

;

.

 

Степеневі ряди. Ряд Тейлора

1. Теорема Абеля. Ряд вигляду (2.4) називають степеневим рядом, де – деяка фіксована точка, – коефіцієнти ряду, – елементи функціонального ряду.

Теорема Абеля. Нехай в точці степеневий ряд (2.4) є збіжним і , тоді цей ряд буде збіжним і для всіх точок , які задовольняють умові: , причому в крузі радіусом даний ряд буде рівномірно збіжним (без доведення).

Із теореми Абеля випливають такі наслідки:

1) якщо в деякій точці степеневий ряд (2.4) є розбіжним, то він буде розбіжним для всіх точок , які задовольняють умові ;

2) кожний степеневий ряд (2.4) має свій радіус збіжності ;

3) в середині круга збіжності радіусом сума ряду (2.4) є аналітичною функцією:

;

4) всередині круга збіжності радіусом ряд (2.4) можна почленно диференціювати та інтегрувати;

5) коефіцієнти ряду (2.4) можна виразити через його суму (тобто через функцію ):

, , , …, ;

6) вирази для знаходження радіусу збіжності степеневого ряду (2.4):

, .

2. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Нехай функція є аналітичною у крузі радіусом , , тоді ця функція може бути подана у вигляді степеневого ряду , причому такий ряд буде збіжним, а подання у вигляді цього ряду є однозначним, оскільки характеризується єдиним набором коефіцієнтів.

Доведення: Запишемо , (2.5)

, (2.6)

, , (2.7)

Підставивши (2.6) і (2.7) у (2.5) отримаємо:

.

Це означає, що функцію можна подати у вигляді степеневого ряду (2.4) єдиним чином. Тобто існує єдиний набір коефіцієнтів ряду С_0, С_1, С₂… для заданої функції.

 

Єдність визначення аналітичної функції

Користуючись єдністю подання функції у вигляді ряду Тейлора, можна показати, що:

1) якщо в області аналітичності функцій і існує збіжна послідовність точок , , ,…, , і в цих точках = , = ,…, то ці функції є тотожно рівними на всій області аналітичності цих функцій;

2) якщо функції і співпадають для всіх із деякої кривої , з області аналітичності цієї функції, є тотожно рівними на всій області (область аналітичності);

3) , і співпадають у всіх точках під області , то ці функції будуть співпадати у всіх точках області .

 

Аналітичне продовження

Суть аналітичного продовження полягає в тому, якщо ми знаємо значення функції в деякій частині області аналітичності цієї функції, то ми можемо продовжити цю функцію (аналітично) на решту області аналітичності цієї функції.

Частинний випадок: нехай ми маємо деяку функцію дійної змінної , яка є заданою на деякому проміжку . Вважаючи, що є значення функції , де , то ми можемо аналітично продовжити цю функцію на комплексну площину. На підставі сказаного випливає, що така функція може бути тільки одна.

Аналітичне продовження з дійсної вісі на комплексну площину, доцільно назвати так само.

Властивості і співвідношення для функцій дійсної змінної переносяться на функції комплексної змінної завдяки тому, що аналітичне продовження є єдиним.

Приклад: довести, що :

.

Отже співвідношення, які існують для функцій дійсної змінної переносяться для функцій комплексної змінної, причому в тому ж самому вигляді. Це дає змогу перейти зокрема від диференціальних рівнянь стосовно функцій дійсної змінної до диференціальних рівнянь стосовно комплексної змінної, що в свою чергу може спростити процес розв'язування рівнянь.

 

Ряд Лорана

1. Означення і область збіжності ряду Лорана. Сума вигляду (2.6) називається рядом Лорана. Для з'ясування області збіжності цього ряду розглянемо його у вигляді двох сум:

.

Користуючись теоремою Абеля, з'ясовуємо, що частина ряду має область збіжності внутрішню частину круга радіусом . Розглянемо іншу частину ряду і введемо заміну , та отримаємо: . Даний ряд є степеневим із додатними степенями , тому його збіжність буде також реалізуватись всередині круга радіусом .

,

Якщо об'єднати обидва співвідношення, для збіжності ряду Лорана, необхідно, щоб одночасно виконувались обидві умови:

.

2. Подання аналітичної функції у вигляді ряду Лорана. Теорема: Нехай функція є аналітичною у круговому кільці , тоді вона може бути подана у вигляді ряду Лорана, причому таке подання буде однозначним:

.

Доведення: Розглянемо деяку точку з середини кругового кільця і оточимо двома колами, а саме внутрішнім і зовнішнім , , причому і , та запишемо інтеграл Коші по кривих, які співпадають із колами , :

.

Розглянемо другий доданок: :

, , то відповідно:

,

Розглянемо перший доданок: :

,

, , то відповідно:

 

.

Якщо об'єднати два доданки, то ми можемо записати єдиний вираз для коефіцієнтів ряду Лорана:

, де – довільний контур у коловому кільці.

Отже, якщо функція є аналітичною в деякому круговому кільці, то її можна єдиним чином подати у вигляді ряду Лорана, у випадку коли .