Натуральні логарифми. Границя, пов’язана з натуральним логарифмом

 

Розглянемо функцію при . Її область визначення: . Оскільки , то функція зростає. При , графік проходить через початок координат (див. рис. 25)

 

Нехай довільна точка графіка. Пряму , що перетинає графік в двох точках і , називають січною. Січна утворює з віссю кут .

Припустимо, що точка по кривій наближається до точки , тобто . Січна при цьому буде повертатись навколо точки , кут буде змінюватись. Точка на кривій може вибиратись як справа, так і зліва відносно точки .

Означення. Граничне положення січної , що проходить через точку , при умові що точка кривої прямує до точки називається дотичною до кривої в точці .

Позначимо через кут нахилу дотичної, тоді згідно означення маємо

або (1)

Тепер звернемо увагу на положення графіка в залежності від основи . Для прикладу розглянемо функції

При маємо Схематично положення кривих зображено на рис. 26

Рис.26

В точці проведені відповідні дотичні: I, ІІ, ІІІ. Із рис. 26 зрозуміло, що при збільшені основи кут нахилу дотичної до зменшується, а при зменшені до цей кут збільшується. Очевидно, що можна підібрати основу такою, щоб дотична до , що проходить через точку , утворювала з віссю кут в , тобто, щоб дотичною стала бісектриса .

Можна довести, що значення шуканої основи дорівнює ірраціональному числу яке прийнято позначати буквою . Більш точно .

Число було введено Л. Ейлером[1].

Логарифми за основою називаються натуральними, замість

пишуть .

За формулою переходу до нової основи

маємо зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами

або

Має місце формула

(2)

Дамо геометричне пояснення формули (2).

 

Згідно рис. 27 із маємо

кутовий коефіцієнт січної, але , тому

Якщо , то кут нахилу січної зростає до значення кута нахилу дотичної , тому у відповідності із співвідношенням (1) Звідки отримуємо (2).

 

 

Друга важлива границя

Так називається рівність

. (1)

За формулою (1) розкривається невизначенність вигляду .

Для доведення (1) перетворимо співвідношення (2) із 3.10.:

Перейшовши формально до границі під знаком логарифма в останній рівності, отримаємо

(2)

Замінимо в (2) (при ) одержимо рівносильну рівність (1).

Зауважимо, що перехід до границі під знаком логарифма ми здійснили формально. Для його строгого обгрунтування потрібно послатись на властивість неперервності цієї функції. Мова про це піде пізніше.

 

Приклади

1.

 

2. Виділяємо цілу частину =

 

3.

, оскільки

 

Приклади для самостійного розв’язання.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Порівняння нескінченно малих (н.м.)

 

Відомо, що дві сталі величини і можна порівнювати між собою або за допомогою дій віднімання (), або ділення . При порівнянні н.м. і до згаданих операцій додається ще перехід до границі, коли скінченне або .

Означення 1. Якщо відношення двох нескінченно малих має скінченну границю відмінну від нуля, тобто

а, значить,

 

то і називаються нескінченно малими одного порядку.

Приклад. Функції і при є н.м. одного порядку, бо

Означення 2. Якщо відношення двох н.м. дорівнює нулю, тобто

то називається нескінченно малою вищого порядку в порівнянні з н.м. , а н.м. є н.м. нижчого порядку в порівнянні з .

Приклади. Нехай а і . Розглянемо

Отже є н.м. вищого порядку в порівнянні з . Це означає, що швидше зменшується ніж . Щоб оцінити степінь зменшення однієї н.м. в порівнянні з іншою, вводиться поняття порядку зміни.

Означення 3. Н.м. називається н.м. k -того порядку відносно н.м. , якщо і є н.м. одного порядку, тобто

Приклад. Нехай а Оскільки

то є н.м. другого порядку відносно

Означення 4. Якщо границя відношення двох н.м. і дорівнює одиниці, тобто

 

 

то і називаються еквівалентними н.м. і при цьому пишуть » .

 

Таблиця основних еквівалентних н.м.

 

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

Формули 1–7 були отримані в попередніх параграфах. Розглянемо останню.

Заміна =

=

Наведена таблиця використовувається при розкритті невизначеностей.

Нехай н.м. і мають своїми еквівалентними і , тобто Тоді має місце теорема.

Теорема 1. Границя відношення двох н.м. функцій дорівнює границі відношення їх еквівалентних величин, тобто

Дійсно,

Приклад.

1.

Теорема 2. Якщо і – еквівалентні н.м. (» ), тобто

то їх різниця – є н.м. вищого порядку ніж або .

Дійсно,

Теорему 2 треба мати на увазі при знаходженні границь.

Розглянемо

Хоча і є н.м. першого порядку в порівнянні з , їх різниця матиме більш високий порядок, тому використання таблиці не допоможе. В даному випадку необхідно перетворити

Тепер

Отже, згідно з означенням 3 можна зробити висновок, що є н.м. третього порядку в порівнянні з .