Теореми про існування границь

 

Теорема 1. Нехай при ( скінченне або ) для трьох функцій виконується нерівність

Якщо існують границі і , які дорівнюють числу , то існує

.

Доведення. Очевидно, що із нерівності

За теоремою 1 із 2.4. н.м., н.м. при . Це значить, що для довільного можна знайти таке, що з нерівності а, отже, тобто .

Теорема 2. Якщо функція зростає, і якщо вона обмежена зверху, тобто , то ця функція має границю , де , а -скінчене або (див.рис.23).

 

Рис. 23.

 

Аналогічне твердження має місце і для спадної, обмеженої знизу, функції .

 

Односторонні границі

 

Будемо розглядати процес, коли змінна , але при цьому залишається меншим , тобто зліва. Цей факт позначають (зл. – зліва), або зручніше записувати . Аналогічно, якщо і то будемо говорити, що справа, позначають або .

Означення. Число називається лівою границею функції в точці , якщо вона визначена на деякому напівінтервалі і для неї існує .

Аналогічно, якщо визначена в напівінтервалі і існує , то називається правою границею функції .

Ліва – і права границі називають односторонніми. Їх ще прийнято позначати

Зауваження. Рівності

еквівалентні , тобто якщо односторонні границі існують і рівні в точці , то існує границя функції .

Якщо ж односторонні границі різні, тобто

або хоча б одна з них не існує, тоді не існує й границя функції при .

 

 

3.7. Невизначеності. Приклади знаходження деяких границь

При знаходженні границі ми використовуємо їх властивості, зокрема теорему 2 із 3.4. Можуть виникати такі випадки.

1. Якщо функція визначена в точці , то

,

тобто границя функції збігається з її значенням в точці .

2. Якщо ж функція в точці невизначена або , то можуть зустрітись співвідношення вигляду: , які називаються невизначеностями.

 

В більшості таких прикладів для знаходження границі над функціями, що стоять під знаком необхідно виконати певні тотожні перетворення, або ще говорять: “позбавитися невизначеності” або “розкрити невизначеність”. А там, де невизначеності не зустрічаються, розв’язання здійснюються у відповідності теореми 2 та властивостей.

Розглянемо кілька конкретних прикладів з поясненнями

1) Знайти згідно теореми 2, а також =

за наслідками із 2.4

=

тобто границя функції збігається з її значенням, бо .

 

2)

Оскільки функція в точці невизначена, і то теорему 2 не можна застосовувати. Робимо перетворення.

=

 

=

Ф-я – обмежена – н.м., оберненна н.в., добуток їх – н.в.

=

.

3)

В точці ф. невизначена корінь чисельника і знаменника. Розклад на множники

=

 

=

оскільки і, то на скорочуємо

=

 

Зауваження. У загальному випадку, якщо

то необхідно зробити тотожні перетворення так, щоб і тоді замість

розглянути

Це, зокрема, стосується випадку, коли , тоді за допомогою тотожності

(1)

отримаємо

де .

Аналогічно для береться тотожність

(2)

тоді

4)

5)

6) див. формулу (2) =

 

 

3.8. Границя дробово раціональної функції при х ®¥

 

Розглянемо спочатку наступний приклад

7)

= (добуток н.в. на обмежену є н.в.) = ¥.

З даного прикладу можна зробити висновок, що у випадку многочлена із степенями різних знаків при може бути невизначеність . Щоб її розкрити необхідно винести старший степінь за дужки. Враховуючи цей висновок, розглянемо границю дробово раціональної функції (див. 1.9) при .

 

В кожній з дужок обмежені величини. Можливі три випадки:

1) , тоді степені скорочуються і границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях ;

2) , тоді після скорочення в чисельнику залишиться , тому границя дорівнює ¥;

, тоді після скорочення в знаменнику залишиться , а обернена до неї при , в границі отримаємо . Отже

(1)

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти границі.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. . 14. .

15. . 16. . 17. .

18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. .

24. . 25. .

26. . 27. .

28. . 29. .

30. . 31. .

32. . 33. .

34. .

Відповіді. 1. 3. 2. 1. 3. 0. 4. -6. 5. 1/4. 6. -3. 7. 3/2. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 21. 2/3. 22. . 23. . 24. . 25. .

26. . 27. 1/2. 28. . 29. . 30. -3. 31. . 32. . 33. . 34. .

 

Перша важлива границя

 

Першою важливою називається границя

(1)

Для доведення (1) будемо виходити із геометричних міркувань (див. рис. 24)

 

 

Рис. 24

 

Оскільки , то вважаємо, що кут 2 –гострий центральний кут в колі радіуса . Довжина хорди очевидно менша довжини дуги , а дуга очевидно менша довжини ламаної , тобто

Із . Довжина дуги . Із довжина дотичної . Отже, нерівність запишеться

За теоремою 1 із 2.5 про границю нерівностей маємо

що рівносильно (1).

На основі (1) отримаємо ще кілька необхідних формул.

. (2)

 

заміна

. Якщо

то

(3)

Аналогічно

(4)

(5)

Приклади.

1.

2. Заміна =

3.

 

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти границі

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .

20. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .