Означення границі функції і її властивості.

Розглянемо приклади, що розкривають зміст поняття границі функції.

Приклад 3.1. Розглянемо функцію в деякому околі точки . З цього околу виберемо довільну послідовність аргументу , наприклад . Обчисливши значення функції для кожного члена послідовності, одержимо послідовність відповідних значень . Очевидно . Виберемо іншу послідовність значень аргументу з того ж самого околу, наприклад, . Складена для неї послідовність відповідних значень заданої функції має вигляд: . Очевидно . Отже, для довільних послідовностей аргументу послідовність відповідних значень заданої функції має одну і ту ж границю 1.

Приклад 3.2. Розглянемо функцію в околі радіуса 1 якої-небудь цілої точки, наприклад, . Виберемо в лівому півоколі довільну послідовність , наприклад, . Очевидно для будь-якого . Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність , яка має границю 0. Виберемо тепер в правому півоколі довільну послідовність , наприклад, . Очевидно для будь-якого . Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність , яка має границю 1. Таким чином, на відміну від попереднього прикладу для різних послідовностей аргументу, що мають границю 1, послідовності відповідних значень функції , мають різні границі.

Означення 1 (за Гейне). Нехай функція визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки . Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якої послідовності аргументів і такої, що , відповідна послідовність значень функції має одну і ту ж границю А.

Символічний запис: .

Як приклад, , а функція не має границі в точці .

Для доведення деяких властивостей функцій, що мають границю, використовують означення границі функції за Коші:

Означення 2. Число називається границею функції при , якщо для існує число таке, що з нерівностей випливає нерівність .

Можна довести, що означення границі функції за Коші і Гейне рівносильні.

Означення. Число називається лівою (правою) границею функції при , якщо для будь-якої послідовності аргументів і такої, що , відповідна послідовність значень функції має одну і ту ж границю .

Позначення: , .

Ліва і права границі називаються односторонніми границями. Очевидно, для того щоб функція при мала границю, необхідно і достатньо щоб вона мала ліву і праву границі при і вони були рівні.

 

Властивості функцій, що мають границю.

Теорема 1. (про обмеженість). Якщо функція має границю при , то в деякому околі точки вона обмежена.

Теорема 2. (про збереження знаку). Якщо функція має границю при , то в деякому околі точки функція зберігає знак границі.

Зауважимо, що обидві теореми носять локальний характер, тобто виконуються для точок, що лежать поблизу точки .

Також слід зауважити, що для границі функції справедливі арифметичні теореми і теореми порівняння, аналогічні відповідним теоремам про границю послідовності.

 

Розкриття невизначеностей.

При знаходженні границь функцій (послідовностей) ми користуємось арифметичними теоремами в припущенні, що відповідні границі існують, а для частки з додатковою умовою, що границя знаменника відміна від нуля.

В деяких випадках, що залишились без розгляду (коли границі функцій (одна або обидві) нескінченні чи не існують, або у випадку частки - границя знаменника дорівнює нулю) можна цілком визначено сказати як поводить себе відповідна функція. Наприклад, якщо , , , то , , , .

Проте, якщо , то про границю частки ніякого загального твердження ми зробити не можемо. Наприклад, нехай , . Обидві функції при прямують до нуля. Їх відношення також прямує до нуля, коли . Якщо ж, навпаки, , , то . Отже, в залежності від вигляду обох функцій, границя частки може існувати, а може і не існувати. В зв’язку з цим говорять, що мають справу з невизначеністю. А задача знаходження границі в кожному такому випадку називається задачею розкриття невизначеності. Розглянемо найбільш важливі випадки:

а) невизначеність .

Якщо і , то у випадку знаходження границі частки ми маємо невизначеність . У випадку, коли функції та є алгебраїчними, то для розкриття невизначеності в чисельнику і знаменнику слід виділити множник , щоб в подальшому скоротити дріб на цей множник:

1) .

2)

.

В другому прикладі для виділення множника знищили ірраціональність в знаменнику шляхом домноження на спряжений вираз.

б) невизначеність .

Нехай , при . В цьому випадку вираз називають невизначеністю . Як приклад розглянемо відношення двох многочленів. Вираз , , - ціле невід'ємне число, називається многочленом. Перший доданок називається старшим членом, - степенем многочлена. Поведінка многочлена, коли визначається поведінкою старшого члена, тобто . Тому:

1) ,

2) ,

3) .

Наведені приклади можна об'єднати в загальне правило:

границя відношення двох многочленів дорівнює , якщо степінь чисельника більший степеня знаменника; дорівнює 0, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника, і дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо степені чисельника і знаменника рівні, тобто

,

де степені многочленів відповідно.

в) невизначеність .

Нехай , при . Тоді вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність такого вигляду, потрібно звести її до невизначеностей вигляду або .

Приклад 3.3 Знайти .

Розв’язування.

.

г) невизначеність .

Розглянемо . Якщо , при , то вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність даного вигляду, як і у попередньому випадку слід звести її до невизначеностей вигляду або .

Завдання для самостійного розв’язування.

3.1 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3.2 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д). ; е) .

3.3 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) .

3.4 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Відповіді:

3.1 а) б) в) г) д) 0; е) 6;

3.2 а) 0; б) ; в) ; г) д) е)

3.3 а) ; б) в) г) д) е) -5;

є) ; ж) ;

3.4 а) б) в) г) д) -1; е) 0;

 

Чудові границі.

1) В попередньому параграфі було встановлено, що . Розглянемо функцію . Ця функція існує для всіх крім . Можна довести, що . Слід звернути увагу на те, що основа степеня при , а показник степеня . Тобто вираз дає невизначеність .

Поклавши , знайдемо . При . У результаті отримаємо ще один запис числа : . Обидва розглянутих співвідношення носять назву першої чудової границі і можуть бути використані для розкриття невизначеності . На практиці широко використовують формулу:

Приклад 3.4 Знайти:

а) ; б) .

Розв’язування.

а) .

б)

.

 

2) Другою чудовою границею називається . Скориставшись даним співвідношенням, можна довести, що

В усіх цих співвідношеннях розглядається відношення двох нескінченно малих величин при умові, що . Отже всі вони можуть бути використані для розкриття невизначеностей , в яких містяться тригонометричні або обернені тригонометричні функції.

Приклад 3.5 Знайти

а) ; б) .

Розв’язування.

а) .

б) .

Завдання для самостійного розв’язування.

3.5 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) .

3.6 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д). ; е) ;

є) . ж) .

Відповіді:

3.5 а) ; б) ; в) 1; г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) e.

3.6 а) ; б) ; в) 2; г) ; д) ; е) 8;

є) 8; ж) 1.

 

§ 4. Неперервність функції.

З поняттям границі функції тісно пов’язано і інше важливе поняття математичного аналізу – поняття неперервності функції. Інтуїтивно поняття неперервності функції пов’язано з графіком функції: функція вважається неперервною, якщо її графік можна провести лінією, не відриваючи олівця від паперу. Що ж станеться, якщо зробити в якійсь точці "прокол"? Тоді перпендикуляр, проведений з цієї точки на ось абсцис, не перетне графіка функції, що рівносильно відсутності значення функції в цій точці. Отже перший висновок: неперервна функція повинна мати значення в точці . Нехай тепер, підходячи до точки з різних сторін, ми залишаємось на "різних рівнях". І в цьому випадку, переходячи через точку ми відриваємо олівець від паперу. Раніше говорилось, що для існування границі функції в точці необхідно і достатньо, щоб існували обидві односторонні границі, рівні між собою. Таким чином, для неперервності функції необхідно, щоб в точці існувала границя. Якщо значення функції в точці не співпадатиме з її границею, то функція теж не буде неперервною. Тому зрозумілі умови, які повинні виконуватись для неперервності функції в точці.

Означення 1. Функція називається неперервною в точці , якщо виконуються наступні умови:

1. функція визначена в околі точки , тобто ;

2. функція має границю в точці , тобто ;

3. ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто .

Приклад 4.1 Дослідити неперервність в точці функцій:

а) ; б) ; в) .

Розв’язування.

а) В точці функція не є неперервною, так як порушується перша умова неперервності – існування .

б) В точці функція не є неперервною – перша умова неперервності виконується, існує ( =1), проте порушена друга умова – відсутня (точніше, тут існують односторонні границі функції: лівостороння і правостороння , проте їх значення не співпадають).

в) В точці функція неперервна, так як виконуються всі умови неперервності – .

Означення неперервності функції в точці може бути записано і так: , тобто для неперервної функції можливе переставлення символів границі і функції.

Поняття неперервності можна сформулювати і на мові приростів. Приростом аргументу в точці називається різниця . Звідки . Приростом функції в точці називається різниця .

Означення 2 Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

.

Приклад 4.2 Довести неперервність функції .

Розв’язування. Розглянемо довільну точку і задамо приріст . Тоді . Знайдемо . Отже за другим означенням неперервності функція неперервна в довільній точці .

Для функцій, неперервних в точці , справедливі арифметичні теореми:

Теорема 1. Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці неперервні функції , , , .(остання – при додатковій умові, що ).