Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Класифікація та деякі властивості функцій.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
В багатьох випадках знання особливостей функцій допомагає побудувати їх графіки. Розглянемо деякі типи функцій. Означення. Функція , визначена на множині , називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Протилежне поняття формулюється так: Означення. Функція називається не обмеженою на множині , якщо для будь-якого , існує таке, що виконується нерівність . Графік обмеженої функції розміщується між двома прямими, паралельними осі : та . Означення. Функція , визначена на проміжку , називається зростаючою (неспадною, спадною, незростаючою) на цьому проміжку, якщо для всіх і з цього проміжку, що задовольняють нерівності виконується нерівність (, , ). Рис.1. Означення. Функція , визначена на множині , розміщеній симетрично відносно початку координат, називається парною (непарною), якщо для виконується рівність (). Графік парної функції симетричний відносно осі (Рис.2), а графік непарної функції – симетричний відносно початку координат (Рис.3). Ця особливість графіків парної та непарної функцій дає змогу скоротити роботу з побудовою графіків таких функцій: досить побудувати графік функції тільки в правій півплощині.
Рис.2 Рис.3
Обернена функція. Нехай функція визначена на відрізку , а множиною її значень є відрізок , тобто , . Якщо кожному значенню відповідає єдине значення , для якого , то на відрізку можна визначити функцію , яка називається оберненою по відношенню до функції . Зауваження. Означення оберненої функції може бути узагальнено і для випадків коли і є будь-які проміжки, а не тільки відрізки. Приклад. Функція визначена на . Оберненою для неї є функція , що також визначена на . Проте не всяка функція має обернену. Так функція , оберненої не має, оскільки двом різним точкам і вона ставить у відповідність одну точку . Сформулюємо теорему існування оберненої функції: Теорема. Якщо функція строго монотонна на відрізку , то обернена функція існує і строго монотонна на відрізку . Функція , має обернену , оскільки кожним двом різним точкам , вона ставить у відповідність дві різні точки . Легко помітити, що не є монотонною для , а функція є зростаючою на проміжку .
Елементарні функції. Означення. Основні елементарні функції: степенева , показникова , обернена до степеневої , логарифмічна , тригонометричні обернені тригонометричні а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять скінчене число арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій основних елементарних функцій, називаються елементарними функціями. З основними елементарними функціями ми познайомились в шкільному курсі математики, а тому їх властивості пропонуємо розглянути самостійно.
§ 2. Послідовність. Границя послідовності.
Функція, задана на множині натуральних чисел, називається числовою послідовністю. Позначається де – загальний член послідовності. Кожна числова послідовність вважається заданою, якщо вказано правило чи закон її утворення. Наприклад, нехай задано загальний член послідовності , тоді її членами будуть числа . Для послідовностей з загальними членами , членами будуть відповідно числа: та Приклад 2.1. Побудувати числову послідовність для знаходження грошових накопичень з урахуванням складних процентів. Розв'язок. Нехай початкова сума вкладу складає грн., процентна ставка дорівнює річних. Величина називається питомою процентною ставкою. На кінець першого року сума вкладу складе , на кінець другого року – , на кінець року – .
Розглянемо послідовності і . Побудуємо точки на числовій осі, що відповідають членам цих послідовностей:
З рисунку видно, що члени послідовності по мірі зростання номера наближаються до точки 0, члени другої послідовності необмежено віддаляються від початку координат. Виберемо - окіл точки 0 з . Поза цим околом знаходяться десять перших членів, всі інші, тобто всі починаючи з номера , належать цьому околу. Виберемо менший окіл точки 0, наприклад . Поза цим околом знаходяться перші сто членів, а всі інші, починаючи з номера , належать вибраному околу. Означення 1. Число називається границею числової послідовності , якщо будь-який - окіл точки містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера , а поза ним знаходиться фіксоване число членів послідовності. Якщо члени послідовності належать - околу точки , то це значить, що для всіх цих членів виконується нерівність , або згідно властивості 7 модуля . Означення 2. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого існує такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність . (2.1) Границя числової послідовності позначається або . Приклад 2.2 Довести, що для послідовності , . Розв'язування. Для будь-якого нерівність (2.1) або виконується при . Отже, при будь-якому існує такий номер (або рівний цілій частині ), що для всіх виконується нерівність . А це означає, що . Приклад 2.3 Довести, що послідовність не має границі. Розв’язування. При будь-якому два сусідні члени цієї послідовності відрізняються за модулем на 2. Отже для на числовій осі не має жодної точки - окіл якої містив би усі члени послідовності починаючи з деякого . Це означає, що ні одне дійсне число не може бути границею цієї послідовності. Послідовності, які мають границю, називаються збіжними, а ті що не мають – розбіжними.
Обмежені послідовності. Зв'язок між існуванням границі та її обмеженістю. Означення. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Теорема. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена. Доведення. Нехай . Для існує номер такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність . Виберемо . Тоді для всіх виконується нерівність , а отже послідовність є обмеженою. Зауважимо, що протилежне твердження в цілому не вірне. Наприклад, послідовність обмежена, але границі не має.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 378; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.222.205 (0.007 с.) |