Дійсні числа. Модуль числа та його властивості.

Дійсним числом називається будь-який десятковий дріб, скінчений чи нескінчений. Якщо – деяка множина дійсних чисел, то запис означає, що число належить . Відомо, що кожному дійсному числу на числовій осі відповідає єдина точка.

Множина дійсних чисел (або точок на числовій осі), що задовольняють нерівності (), де – фіксовані числа, називається інтервалом (відрізком) і позначається ().

Множина дійсних чисел , що задовольняють нерівності або , називається півінтервалом.

Надалі, у випадках коли належність чи неналежність множині граничних точок немає суттєвого значення, інтервал, відрізок, півінтервал будемо називати проміжком і позначати .

Інтервал , називається – околом точки .

Для позначення відстані довільної точки числової осі до початку координат використовують – модуль числа.

Означення. Модулем числа називається

Наприклад: .

Властивості модуля:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Нерівність означає, що .

 

Означення та способи задання функції. Графік функції.

Нехай задано множину чисел . Говорять, що на множині задано функцію , якщо кожному відповідає одне певне число і записують . При цьому називають незалежною зміною або аргументом, а – залежною зміною або функцією.

Множина називається областю визначення функції і позначається або , – значення функції в точці , а сукупність всіх таких значень – областю значень функції і позначається або .

З означення функції випливає, що функція вважається заданою, якщо вказано закон відповідності і область визначення. Якщо область визначення функції складається з усіх , для яких вираз має значення, то таку область визначення будемо називати максимальною областю визначення або областю існування. В подальших прикладах знаходження області визначення функції пов’язане тільки із знаходженням області існування.

Приклад 1.1. Знайти область визначення функції .

Розв’язування. Очевидно, що вираз має сенс тоді і тільки тоді, коли , або . Так як , то . Згідно властивості 7 модуля . Отже, область визначення функції є відрізок .

 

Нехай функція визначена на множині , а функція – на множині . Якщо переріз не є порожня множина, то на цьому перерізі можна визначити суму , різницю , добуток і частку двох функцій (останню лише при умові ).

Графіком функції з областю визначення називається множина всіх точок площини , координати яких пов’язані даною функціональною залежністю. Найчастіше функція задається на проміжку , а її графіком буде деяка крива. Проте не слід думати, що графіком щоразу буде деяка крива. Це може бути надто складне геометричне місце точок.

Функція може бути задана одним з основних способів: аналітичним, табличним або графічним. Вважають, що функція задана аналітично, якщо вона задана за допомогою однієї або кількох формул на різних проміжках.

Нехай на площині дано прямокутну систему координат . Тоді будь-яка крива в цій площині задає деяку функцію від , якщо всяка пряма, паралельна осі , перетинає цю криву не більше ніж в одній точці. Це графічний спосіб задання функції.

Функцію можна задати і за допомогою таблиці, в одному рядку якої записані значення однієї величини, а в іншому – відповідні значення другої величини, що залежить від першої.

Зауваження. Якщо функція задана аналітично, то неважко перейти до табличного або графічного способу задання функції. Перехід від табличного або графічного способів задання функцій до аналітичного вимагає певних знань та навичок.

 

Завдання для самостійного розв’язування.

1.1 Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

Відповіді:

1.1 а) б)

в) г)

Складена функція.

Нехай функція визначена на множині , а функція на множині , причому для всіх відповідне значення належить множині . Тоді на множині визначена функція , що називається складеною функцією від , або суперпозицією функцій і .

Наприклад, функція визначена на множині , а функція визначена на множині і має область зміни . Так як множина , то суперпозиція цих функцій визначена на множині .

Проте може статись так, що і не мають спільних точок, тоді відповідні функції і не утворюють суперпозицію. Наприклад, функції і такі, що і не мають ні однієї спільної точки. Таким чином, вираз не задає функції від .