Розділ іII. Вступ до аналізу.

Розділ ІII. Вступ до аналізу.

§ 1. Означення функції. Основні поняття та властивості функцій. Графік функції.

Дійсні числа. Модуль числа та його властивості.

Дійсним числом називається будь-який десятковий дріб, скінчений чи нескінчений. Якщо – деяка множина дійсних чисел, то запис означає, що число належить . Відомо, що кожному дійсному числу на числовій осі відповідає єдина точка.

Множина дійсних чисел (або точок на числовій осі), що задовольняють нерівності (), де – фіксовані числа, називається інтервалом (відрізком) і позначається ().

Множина дійсних чисел , що задовольняють нерівності або , називається півінтервалом.

Надалі, у випадках коли належність чи неналежність множині граничних точок немає суттєвого значення, інтервал, відрізок, півінтервал будемо називати проміжком і позначати .

Інтервал , називається – околом точки .

Для позначення відстані довільної точки числової осі до початку координат використовують – модуль числа.

Означення. Модулем числа називається

Наприклад: .

Властивості модуля:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Нерівність означає, що .

 

Означення та способи задання функції. Графік функції.

Нехай задано множину чисел . Говорять, що на множині задано функцію , якщо кожному відповідає одне певне число і записують . При цьому називають незалежною зміною або аргументом, а – залежною зміною або функцією.

Множина називається областю визначення функції і позначається або , – значення функції в точці , а сукупність всіх таких значень – областю значень функції і позначається або .

З означення функції випливає, що функція вважається заданою, якщо вказано закон відповідності і область визначення. Якщо область визначення функції складається з усіх , для яких вираз має значення, то таку область визначення будемо називати максимальною областю визначення або областю існування. В подальших прикладах знаходження області визначення функції пов’язане тільки із знаходженням області існування.

Приклад 1.1. Знайти область визначення функції .

Розв’язування. Очевидно, що вираз має сенс тоді і тільки тоді, коли , або . Так як , то . Згідно властивості 7 модуля . Отже, область визначення функції є відрізок .

 

Нехай функція визначена на множині , а функція – на множині . Якщо переріз не є порожня множина, то на цьому перерізі можна визначити суму , різницю , добуток і частку двох функцій (останню лише при умові ).

Графіком функції з областю визначення називається множина всіх точок площини , координати яких пов’язані даною функціональною залежністю. Найчастіше функція задається на проміжку , а її графіком буде деяка крива. Проте не слід думати, що графіком щоразу буде деяка крива. Це може бути надто складне геометричне місце точок.

Функція може бути задана одним з основних способів: аналітичним, табличним або графічним. Вважають, що функція задана аналітично, якщо вона задана за допомогою однієї або кількох формул на різних проміжках.

Нехай на площині дано прямокутну систему координат . Тоді будь-яка крива в цій площині задає деяку функцію від , якщо всяка пряма, паралельна осі , перетинає цю криву не більше ніж в одній точці. Це графічний спосіб задання функції.

Функцію можна задати і за допомогою таблиці, в одному рядку якої записані значення однієї величини, а в іншому – відповідні значення другої величини, що залежить від першої.

Зауваження. Якщо функція задана аналітично, то неважко перейти до табличного або графічного способу задання функції. Перехід від табличного або графічного способів задання функцій до аналітичного вимагає певних знань та навичок.

 

Завдання для самостійного розв’язування.

1.1 Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

Відповіді:

1.1 а) б)

в) г)

Складена функція.

Нехай функція визначена на множині , а функція на множині , причому для всіх відповідне значення належить множині . Тоді на множині визначена функція , що називається складеною функцією від , або суперпозицією функцій і .

Наприклад, функція визначена на множині , а функція визначена на множині і має область зміни . Так як множина , то суперпозиція цих функцій визначена на множині .

Проте може статись так, що і не мають спільних точок, тоді відповідні функції і не утворюють суперпозицію. Наприклад, функції і такі, що і не мають ні однієї спільної точки. Таким чином, вираз не задає функції від .

 

Обернена функція.

Нехай функція визначена на відрізку , а множиною її значень є відрізок , тобто , .

Якщо кожному значенню відповідає єдине значення , для якого , то на відрізку можна визначити функцію , яка називається оберненою по відношенню до функції .

Зауваження. Означення оберненої функції може бути узагальнено і для випадків коли і є будь-які проміжки, а не тільки відрізки.

Приклад. Функція визначена на . Оберненою для неї є функція , що також визначена на .

Проте не всяка функція має обернену. Так функція , оберненої не має, оскільки двом різним точкам і вона ставить у відповідність одну точку . Сформулюємо теорему існування оберненої функції:

Теорема. Якщо функція строго монотонна на відрізку , то обернена функція існує і строго монотонна на відрізку .

Функція , має обернену , оскільки кожним двом різним точкам , вона ставить у відповідність дві різні точки .

Легко помітити, що не є монотонною для , а функція є зростаючою на проміжку .

 

Елементарні функції.

Означення. Основні елементарні функції: степенева , показникова , обернена до степеневої , логарифмічна , тригонометричні обернені тригонометричні а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять скінчене число арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій основних елементарних функцій, називаються елементарними функціями.

З основними елементарними функціями ми познайомились в шкільному курсі математики, а тому їх властивості пропонуємо розглянути самостійно.

 

§ 2. Послідовність. Границя послідовності.

 

Функція, задана на множині натуральних чисел, називається числовою послідовністю.

Позначається де – загальний член послідовності. Кожна числова послідовність вважається заданою, якщо вказано правило чи закон її утворення.

Наприклад, нехай задано загальний член послідовності , тоді її членами будуть числа . Для послідовностей з загальними членами , членами будуть відповідно числа: та

Приклад 2.1. Побудувати числову послідовність для знаходження грошових накопичень з урахуванням складних процентів.

Розв'язок. Нехай початкова сума вкладу складає грн., процентна ставка дорівнює річних. Величина називається питомою процентною ставкою.

На кінець першого року сума вкладу складе , на кінець другого року – , на кінець року – .

 

Розглянемо послідовності і . Побудуємо точки на числовій осі, що відповідають членам цих послідовностей:

 

 

З рисунку видно, що члени послідовності по мірі зростання номера наближаються до точки 0, члени другої послідовності необмежено віддаляються від початку координат.

Виберемо - окіл точки 0 з . Поза цим околом знаходяться десять перших членів, всі інші, тобто всі починаючи з номера , належать цьому околу. Виберемо менший окіл точки 0, наприклад . Поза цим околом знаходяться перші сто членів, а всі інші, починаючи з номера , належать вибраному околу.

Означення 1. Число називається границею числової послідовності , якщо будь-який - окіл точки містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера , а поза ним знаходиться фіксоване число членів послідовності.

Якщо члени послідовності належать - околу точки , то це значить, що для всіх цих членів виконується нерівність , або згідно властивості 7 модуля .

Означення 2. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого існує такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність

. (2.1)

Границя числової послідовності позначається або .

Приклад 2.2 Довести, що для послідовності , .

Розв'язування. Для будь-якого нерівність (2.1) або виконується при . Отже, при будь-якому існує такий номер (або рівний цілій частині ), що для всіх виконується нерівність . А це означає, що .

Приклад 2.3 Довести, що послідовність не має границі.

Розв’язування. При будь-якому два сусідні члени цієї послідовності відрізняються за модулем на 2. Отже для на числовій осі не має жодної точки - окіл якої містив би усі члени послідовності починаючи з деякого . Це означає, що ні одне дійсне число не може бути границею цієї послідовності.

Послідовності, які мають границю, називаються збіжними, а ті що не мають – розбіжними.

 

Обмежені послідовності. Зв'язок між існуванням границі та її обмеженістю.

Означення. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .

Теорема. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення. Нехай . Для існує номер такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність . Виберемо . Тоді для всіх виконується нерівність , а отже послідовність є обмеженою.

Зауважимо, що протилежне твердження в цілому не вірне. Наприклад, послідовність обмежена, але границі не має.

 

Властивості границь.

Властивість 1. Якщо всі члени послідовності дорівнюють , то і границя цієї послідовності дорівнює .

Властивість 2. Якщо послідовність має границю , то послідовність – нескінченно мала.

Властивість 3. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

 

Завдання для самостійного розв’язування.

2.1 Скориставшись означенням границі довести, що

а) . б) .

2.2 Впевнитись, що послідовність не має границі при необмеженому зростанні .

 

Розкриття невизначеностей.

При знаходженні границь функцій (послідовностей) ми користуємось арифметичними теоремами в припущенні, що відповідні границі існують, а для частки з додатковою умовою, що границя знаменника відміна від нуля.

В деяких випадках, що залишились без розгляду (коли границі функцій (одна або обидві) нескінченні чи не існують, або у випадку частки - границя знаменника дорівнює нулю) можна цілком визначено сказати як поводить себе відповідна функція. Наприклад, якщо , , , то , , , .

Проте, якщо , то про границю частки ніякого загального твердження ми зробити не можемо. Наприклад, нехай , . Обидві функції при прямують до нуля. Їх відношення також прямує до нуля, коли . Якщо ж, навпаки, , , то . Отже, в залежності від вигляду обох функцій, границя частки може існувати, а може і не існувати. В зв’язку з цим говорять, що мають справу з невизначеністю. А задача знаходження границі в кожному такому випадку називається задачею розкриття невизначеності. Розглянемо найбільш важливі випадки:

а) невизначеність .

Якщо і , то у випадку знаходження границі частки ми маємо невизначеність . У випадку, коли функції та є алгебраїчними, то для розкриття невизначеності в чисельнику і знаменнику слід виділити множник , щоб в подальшому скоротити дріб на цей множник:

1) .

2)

.

В другому прикладі для виділення множника знищили ірраціональність в знаменнику шляхом домноження на спряжений вираз.

б) невизначеність .

Нехай , при . В цьому випадку вираз називають невизначеністю . Як приклад розглянемо відношення двох многочленів. Вираз , , - ціле невід'ємне число, називається многочленом. Перший доданок називається старшим членом, - степенем многочлена. Поведінка многочлена, коли визначається поведінкою старшого члена, тобто . Тому:

1) ,

2) ,

3) .

Наведені приклади можна об'єднати в загальне правило:

границя відношення двох многочленів дорівнює , якщо степінь чисельника більший степеня знаменника; дорівнює 0, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника, і дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо степені чисельника і знаменника рівні, тобто

,

де степені многочленів відповідно.

в) невизначеність .

Нехай , при . Тоді вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність такого вигляду, потрібно звести її до невизначеностей вигляду або .

Приклад 3.3 Знайти .

Розв’язування.

.

г) невизначеність .

Розглянемо . Якщо , при , то вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність даного вигляду, як і у попередньому випадку слід звести її до невизначеностей вигляду або .

Завдання для самостійного розв’язування.

3.1 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3.2 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д). ; е) .

3.3 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) .

3.4 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Відповіді:

3.1 а) б) в) г) д) 0; е) 6;

3.2 а) 0; б) ; в) ; г) д) е)

3.3 а) ; б) в) г) д) е) -5;

є) ; ж) ;

3.4 а) б) в) г) д) -1; е) 0;

 

Чудові границі.

1) В попередньому параграфі було встановлено, що . Розглянемо функцію . Ця функція існує для всіх крім . Можна довести, що . Слід звернути увагу на те, що основа степеня при , а показник степеня . Тобто вираз дає невизначеність .

Поклавши , знайдемо . При . У результаті отримаємо ще один запис числа : . Обидва розглянутих співвідношення носять назву першої чудової границі і можуть бути використані для розкриття невизначеності . На практиці широко використовують формулу:

Приклад 3.4 Знайти:

а) ; б) .

Розв’язування.

а) .

б)

.

 

2) Другою чудовою границею називається . Скориставшись даним співвідношенням, можна довести, що

В усіх цих співвідношеннях розглядається відношення двох нескінченно малих величин при умові, що . Отже всі вони можуть бути використані для розкриття невизначеностей , в яких містяться тригонометричні або обернені тригонометричні функції.

Приклад 3.5 Знайти

а) ; б) .

Розв’язування.

а) .

б) .

Завдання для самостійного розв’язування.

3.5 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) .

3.6 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д). ; е) ;

є) . ж) .

Відповіді:

3.5 а) ; б) ; в) 1; г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) e.

3.6 а) ; б) ; в) 2; г) ; д) ; е) 8;

є) 8; ж) 1.

 

§ 4. Неперервність функції.

З поняттям границі функції тісно пов’язано і інше важливе поняття математичного аналізу – поняття неперервності функції. Інтуїтивно поняття неперервності функції пов’язано з графіком функції: функція вважається неперервною, якщо її графік можна провести лінією, не відриваючи олівця від паперу. Що ж станеться, якщо зробити в якійсь точці "прокол"? Тоді перпендикуляр, проведений з цієї точки на ось абсцис, не перетне графіка функції, що рівносильно відсутності значення функції в цій точці. Отже перший висновок: неперервна функція повинна мати значення в точці . Нехай тепер, підходячи до точки з різних сторін, ми залишаємось на "різних рівнях". І в цьому випадку, переходячи через точку ми відриваємо олівець від паперу. Раніше говорилось, що для існування границі функції в точ