Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).

Пустьфункция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)≠f(b), тогда для любого числа С, заключенного между числами f(a) и f(b) найдется такая точка ξ (a,b) такая, что f(ξ)=С. (Рисунок)

Доказательство. Пусть, для определенности, f(a)<f(b), тогда f(a)<c<f(b).

Введем вспомогательную функцию φ(х)=f(x)-c

Тогда φ(а)=f(a)-c<0, φ(b)=f(b)-c>0.

Следовательно, по теореме 1, между точками a и b обязательно найдется хотя бы одна точка ξ такая, что φ(ξ)=f(ξ)-c=0, т.е. f(ξ)=c. Ч.т.д.

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют числа m и М такие, что m£f(x)£М хÎ[a,b].

Доказательство.

Допустим противное, что функция f(x) не является ограниченной на отрезке [a,b].

Тогда найдется хотя бы одно х₁Î[a,b] такое, что êf(x₁)ê>1.

Аналогично, можно указать х₂Î[a,b] такое, что êf(x₂)ê>2.

И т.д. продолжая этот процесс, получим последовательность х₁,х₂,…,x_n,…

Такой, что nÎN: x_nÎ[a,b] и êf(x_n)ê>n, т.е. êf(x_n)ê→¥, n→¥ (1)

С другой стороны, полученная последовательность ограничена, т.к. nÎN a£x_n£b

А из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность и пусть .

Тогда kÎNÞ a£ £b.

Переходя в этом неравенстве к пределу при k→¥, получаем a£x₀£b, т.е. х₀Î[a,b].

По условию функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Значит f(x) непрерывна и в точке х₀. Т.к. , то f()→f(х₀), k→¥Þêf()ê→êf(х₀)ê, k→¥ (2)

С другой стороны, последовательность является подпоследовательностью для последовательности . Учитывая (1) получаем, что должно быть

êf()ê→¥,k→¥ (3)

Сопоставляя (2) и (3) получаем противоречие. Следовательно ч.т.д.

Замечание. Требование непрерывности функции f(x) на отрезке [a,b] существенно. Если функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) или полуинтервале [a,b) ((a,b]), то нельзя гарантировать ограниченность f(x) на этих промежутках. Например, рассмотрим функцию f(x)= на промежутке (0,1]. В каждой конкретной точке этого промежутка она принимает конечное значение, но f(x)= не ограничена, т.к. при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большое значение.

Вторая теорема Вейерштрасса (о минимальном и максимальном значении. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она существуют такие точки из отрезка [a,b], в которых функция принимает наименьшее значение m и наибольшее значение М. (Рисунок)

Доказательство. По теореме об ограниченности непрерывной функции, множество значений, которые принимает функция f(x) на отрезке [a,b] ограниченно. Следовательно, существуют его точная верхняя и точная нижняя границы.

Пусть М= , m= (M и m – конечные числа).

Покажем, что f(x) достигает в промежутке [a,b] наибольшее значение. Для этого надо доказать, что в промежутке [a,b] имеется хотя бы одна точка х₀ такая, что f(x₀)=М.

Допустим, что такой точки в промежутке [a,b] нет. Тогда справедливо неравенство: М-f(x)>0 (т.к. М= ).

Введем вспомогательную функцию .

Функция φ(х) определена и непрерывна на отрезке [a,b] как отношение двух непрерывных функций с необращающимся в 0 знаменателем. Более того, φ(х)>0 на [a,b].

Следовательно, к φ(х) можно применить первую теорему Вейерштрасса, т.е. K>0: будет:

φ(х)£К или £КÞМ-f(x)³ Þf(x)£M- , (*)

Т.к. неравенство (*) выполняется , то число М- является верхней границей множества {f(x)}, xÎ[a,b]. А это невозможно, т.к. М= и, следовательно, любой число, меньшее, чем М не является верхней границей множества {f(x)}, xÎ[a,b].

Получили противоречие. Следовательно, на промежутке [a,b] обязательно имеется хотя бы одна точка х₀, в которой функция f(x) принимает свое наибольшее значение.

Аналогично доказывается, что функция f(x) принимает в промежутке [a,b] свое наименьшее значение. Ч.т.д.

Три важных предела.

1. Покажем, что =1.

= . Т.к. логарифмическая функция непрерывна, то

=

2. Покажем, что = .

Положим а^х-1=уÞа^х=1+уÞх =ln(1+y)Þх= , При х→0, у→0.

Имеем = = = Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, .

Следовательно, =

3. Покажем, что =a.

Положим (1+х)^a-1=уÞ(1+х)^a=1+уÞa =ln(1+y), При х→0, у→0.

Имеем = = = Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, и =1, следовательно, =a.